[论文解读] On the complement of a positive normal crossing divisor with no triple intersection in a projective variety

Khoa Lu Nguyen|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文研究了在射影代数簇中，一个无三重点的正法线交叉除子补集的辛拓扑，表明当除子从光滑退化为法线交叉时，补集的Weinstein结构经历受控的修改。关键结果建立了奇异补集到光滑补集的Weinstein同伦嵌入，其差异可分解为基本Weinstein钴管，其临界点对应于奇异点集，且指标下移两位，从而可通过拉格朗日子束和纤维化计算辛不变量。

ABSTRACT

We describe how the Weinstein structure of the complement is modified when a positive divisor degenerates to a normal crossing divisor with no triple intersection.

研究动机与目标

• 理解正线丛截面的补集Weinstein结构在零除子退化为无三重点的法线交叉除子时如何变化。
• 以Weinstein钴管和临界点的形式描述光滑与奇异补集之间的拓扑与辛修改。
• 在光滑与奇异补集的辛同调之间建立Viterbo转移映射。
• 将光滑情形下的拉格朗日子流形与纤维化及奇异点集所生成的拉格朗日子流形联系起来。
• 为通过法线交叉除子的紧化方法计算仿射代数簇的辛不变量提供一个框架。

提出的方法

• 构造一族截面 $ s_\epsilon = s_0 + \epsilon h $，其中 $ s_0 $ 具有法线交叉除子，且当 $ \epsilon \neq 0 $ 时 $ s_\epsilon $ 光滑，以模拟退化过程。
• 通过Liouville形式 $ \lambda_\epsilon = -d^c \phi_\epsilon $，其中 $ \phi_\epsilon = -\log \|s_\epsilon\|^2 $，在补集 $ W_\epsilon = X \setminus D_\epsilon $ 上定义Weinstein结构。
• 利用辛邻域定理和 $ D_\epsilon $ 的法丛上的连接1-形式 $ \alpha $，构造一个到 $ X $ 中 $ D_\epsilon $ 邻域的辛同胚，保持辛形式。
• 在 $ W_\epsilon $ 上构造一个Weinstein同伦，将原始结构变形为：使得 $ \bar{S} $ 中临界点 $ p $ 的不稳定子流形可被实现为子流形 $ D_\epsilon(K) \cap \{ \tilde{\phi}_\epsilon \leq C \} $。
• 利用全纯纤维化 $ \pi = s_0/h: X \setminus h^{-1}(0) \to \mathbb{C} $ 描述光滑情形下拉格朗日子流形的结构。
• 应用辛邻域定理与径向缩放，确保Liouville向量场在边界 $ Y $ 上向外横截，从而构造具有Reeb动力系统沿圆丛分层的接触边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当光滑除子退化为无三重点的法线交叉除子时，补集的Weinstein结构如何变化？
• RQ2 光滑与奇异补集之间的差异在拓扑与辛结构上具有何种性质？
• RQ3 如何通过转移映射将奇异补集的辛同调与光滑补集的辛同调联系起来？
• RQ4 光滑情形下拉格朗日子流形的几何起源是什么？它们与奇异点集有何关联？
• RQ5 能否通过法线交叉除子的紧化方法及由此产生的辛拓扑，计算仿射代数簇的辛不变量？

主要发现

• 存在一个Weinstein同伦嵌入 $ (W_0, \lambda_0, \phi_0) $ 到 $ (W_\epsilon, \lambda_\epsilon, \phi_\epsilon) $，表明奇异补集辛同胚地嵌入于光滑补集中。
• 补集 $ W_\epsilon \setminus i(W_0) $ 可分解为基本Weinstein钴管，其临界点对应于奇异点集 $ \bar{S} $，且指标下移两位。
• 在适当的Weinstein同伦下，$ W\_\epsilon $ 中临界点的拉格朗日子流形可被实现为子流形 $ D_\epsilon(K) \cap \{ \tilde{\phi}_\epsilon \leq C \} $，其中 $ K \subset \bar{S} $ 为子水平集。
• 在复维数为2的情形下，不稳定子流形即为thimble $ D_\epsilon(p) $，其与除子 $ D_\epsilon $ 的交集为一个嵌入的拉格朗日圆周 $ L_0 $。
• 交集 $ \Gamma = D_\epsilon(p) \cap Y $ 是接触边界 $ Y $ 上的Legendrian纽结，通过一族沿向量场同伦流动的拉格朗日圆周 $ \{L_t\} $，其哈密顿同伦于单位法丛 $ L_0 $。
• 辛同调 $ SH_*(W_\epsilon) $ 通过Viterbo转移映射 $ \Phi $ 映射到 $ SH_*(W_0) $，其映射锥与由拉格朗日子流形构建的链复形 $ LH_* $ 酉同构，类似于wrapped Fukaya范畴的Hochschild复形。