[论文解读] On the complexity of computing the $k$-metric dimension of graphs

Ismael G. Yero, Alejandro Estrada‐Moreno+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems被引用 5

一句话总结

本文確立了圖形 $k$-度量維數的計算複雜度，證明該決策問題對一般圖形為 NP-完全。然而，本文提出了一種線性時機演算法，用於在樹中計算 $k$-度量維數與基底，解決了圖論與網路設計中的一個關鍵開放問題。

ABSTRACT

Given a connected graph $G=(V,E)$, a set $S\subseteq V$ is a $k$-metric generator for $G$ if for any two different vertices $u,v\in V$, there exist at least $k$ vertices $w_1,...,w_k\in S$ such that $d_G(u,w_i) e d_G(v,w_i)$ for every $i\in \{1,...,k\}$. A metric generator of minimum cardinality is called a $k$-metric basis and its cardinality the $k$-metric dimension of $G$. We study some problems regarding the complexity of some $k$-metric dimension problems. For instance, we show that the problem of computing the $k$-metric dimension of graphs is $NP$-Complete. However, the problem is solved in linear time for the particular case of trees.

研究动机与目标

• 確定計算圖形 $k$-度量維數的計算複雜度。
• 探討決策問題 $\dim_k(G) \leq r$ 對一般圖形是否為 NP-完全。
• 發展有效演算法，以計算樹中 $k$-度量維數與基底。
• 特徵化圖形為 $k$-度量維數的最大整數 $k$，並以多項式時間計算之。

提出的方法

• 從已知的 NP-完全問題進行歸約，以證明 $k$-度量維數決策問題的 NP-完全性。
• 調整先前標準度量維數研究中的技術，以分析 $k$-度量生成器。
• 設計一則遞迴演算法（演算法 3），透過處理樹中的主要頂點與終端路徑來計算 $k$-度量基底。
• 對每個外部主要頂點 $w$ 使用頂點集合 $B_k(w)$ 來建構 $k$-度量基底，其基底大小規則依 $\lfloor k/2 \rfloor$ 與 $\lceil k/2 \rceil$ 決定。
• 對內部節點遞迴指派一對 $(a_v, b_v)$，其中 $a_v$ 追蹤終端路徑集合，$b_v$ 累積 $k$-度量基底。
• 利用動態規劃原理對樹結構進行線性時間遍歷，以 $O(n)$ 時間計算 $k$-度量基底。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於一般圖形，判斷 $\dim_k(G) \leq r$ 的問題是否為 NP-完全？
• RQ2 是否能以線性時間計算樹的 $k$-度量維數？
• RQ3 圖形 $G$ 為 $k$-度量維數的最大 $k$ 是多少？此 $k$ 是否能有效計算？
• RQ4 當 $k \leq \varsigma(T)$ 時，如何為樹建構 $k$-度量基底？
• RQ5 樹的哪些結構性質允許以線性時間演算法計算 $k$-度量維數？

主要发现

• 當 $r \geq k+1$ 時，一般圖形的決策問題 $\dim_k(G) \leq r$ 為 NP-完全，確立了計算 $k$-度量維數的 NP-難度。
• 對於樹，$k$-度量維數可於線性時間內計算，並提出特定演算法（演算法 3）以有效建構 $k$-度量基底。
• 圖形 $G$ 為 $k$-度量維數的最大整數 $k$ 可於多項式時間內計算，此值記為 $\varsigma(G)$。
• 對於任一樹（非路徑）且 $k \leq \varsigma(T)$ 時，$k$-度量基底可於與頂點數成線性時間內計算。
• $k$-度量基底的建構基於外部主要頂點的貢獻聚合，其基底大小規則依 $\lfloor k/2 \rfloor$ 與 $\lceil k/2 \rceil$ 決定。
• 該演算法透過遞迴處理子樹並利用樹結構上的動態規劃結合結果，正確計算 $k$-度量基底。