[论文解读] On the Complexity of Computing Zero-Error and Holevo Capacity of Quantum Channels

Salman BeigiPeter, W. Shor|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 26被引用 63

一句话总结

本文確立了量子團問題——即在量子通道傳輸後，k 個量子態是否仍能完全區分——為 QMA-完全問題，展示了其在量子資訊理論中的根本複雜性。此外，本文進一步證明，計算量子通道的 Holevo 容量與最小輸出熵（包括糾纏-breaking 通道在內）為 NP-完全問題，突顯了在量子通道容量估計中存在深遠的計算限制。

ABSTRACT

One of the main problems in quantum complexity theory is that our understanding of the theory of QMA-completeness is not as rich as its classical analogue, the NPcompleteness. In this paper we consider the clique problem in graphs, which is NPcomplete, and try to find its quantum analogue. We show that, quantum clique problem can be defined as follows; Given a quantum channel, decide whether there are k states that are distinguishable, with no error, after passing through channel. This definition comes from reconsidering the clique problem in terms of the zero-error capacity of graphs, and then redefining it in quantum information theory. We prove that, quantum clique problem is QMA-complete. In the second part of paper, we consider the same problem for the Holevo capacity. We prove that computing the Holevo capacity as well as the minimum entropy of a quantum channel is NP-complete. Also, we show these results hold even if the set of quantum channels is restricted to entanglement breaking ones.

研究动机与目标

• 定義經典 NP-完全團問題的量子類比，利用通道傳輸下量子態的零誤差可區分性。
• 研究確定量子通道零誤差容量的計算複雜性，並將其表述為量子團問題。
• 分析計算量子通道 Holevo 容量與最小輸出熵的複雜性，包括糾纏-breaking 通道在內。
• 確立這些量子容量計算問題為 NP-完全問題，將經典複雜性結果延伸至量子設定。

提出的方法

• 將經典團問題重新表述為圖的零誤差容量，將圖的邊轉化為通道傳輸下量子態的可區分性。
• 定義量子團問題為判斷 k 個量子態在通過給定量子通道後是否仍能完全區分。
• 利用已知的複雜性理論歸約與構造，透過從已知 QMA-完全問題的歸約，證明量子團問題為 QMA-完全。
• 應用類似技術，證明計算量子通道的 Holevo 容量與最小輸出熵為 NP-完全，即使限制於糾纏-breaking 通道亦成立。
• 利用量子通道的性質與資訊理論度量（如馮紐曼熵與互資訊）來形式化計算問題。
• 透過從已知 NP-完全問題的歸約來證明難度，並提供多項式時間驗證者，以確立 Holevo 容量與熵問題屬於 NP。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子通道與零誤差通訊的背景下，是否存在經典團問題的自然量子類比？
• RQ2 判斷 k 個量子態在通過量子通道傳輸後是否仍能完全區分，其計算複雜性為何？
• RQ3 計算量子通道的 Holevo 容量是否為計算上困難的問題？若為困難，其複雜性與經典對應問題相比如何？
• RQ4 當限制於糾纏-breaking 量子通道時，Holevo 容量與最小輸出熵計算的 NP-完全性是否仍成立？
• RQ5 能否證明量子團問題為量子 NP 的完全問題，即 QMA-完全？

主要发现

• 量子團問題——即判斷 k 個量子態在通過量子通道傳輸後是否仍能完全區分——已被證明為 QMA-完全問題。
• 即使將通道限制於糾纏-breaking 通道類別，計算量子通道的 Holevo 容量仍為 NP-完全問題。
• 在相同限制下，計算量子通道的最小輸出熵亦為 NP-完全問題。
• Holevo 容量與最小輸出熵的 NP-完全性在限制於糾纏-breaking 通道時依然成立。
• 研究結果建立了量子資訊理論量與計算複雜性之間的直接連結，顯示基本容量度量在計算上極具困難。
• 這些發現將經典複雜性結果延伸至量子領域，顯示量子資訊容量問題與其經典對應問題一樣困難，且量子團問題確為 QMA-完全。