[论文解读] On the Complexity of Elementary Modal Logics

Edith Hemaspaandra, Henning Schnoor|ArXiv.org|Feb 13, 2008

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 20被引用 13

一句话总结

本文为由全称霍恩公式定义的初等模态逻辑建立了完整的复杂性分类，表明其可满足性问题要么是 NP-完全的，要么是 PSPACE-难的，并提出了一个简单的判别标准以区分这两种情况。此外，本文还为许多 PSPACE-难的逻辑证明了 PSPACE 上界，表明拉德纳的经典 PSPACE-难结果在此类逻辑中是最优的，且 NP 情况与多项式大小模型性质完全一致。

ABSTRACT

Modal logics are widely used in computer science. The complexity of modal satisfiability problems has been investigated since the 1970s, usually proving results on a case-by-case basis. We prove a very general classification for a wide class of relevant logics: Many important subclasses of modal logics can be obtained by restricting the allowed models with first-order Horn formulas. We show that the satisfiability problem for each of these logics is either NP-complete or PSPACE-hard, and exhibit a simple classification criterion. Further, we prove matching PSPACE upper bounds for many of the PSPACE-hard logics.

研究动机与目标

• 为由全称霍恩公式定义的广泛类模态逻辑提供完整的复杂性分类。
• 识别一个简单判别标准，以区分该类中 NP-完全与 PSPACE-难可满足性问题。
• 为 PSPACE-难逻辑的一个大子类证明匹配的 PSPACE 上界。
• 证明拉德纳关于自反与传递框架的 PSPACE-难结果在此类中是最优的。
• 建立该类中 NP-完全性与多项式大小模型性质完全一致。

提出的方法

• 作者通过限制 Kripke 框架类别的全称霍恩公式来定义模态逻辑，例如传递性或对称性。
• 他们提出一种“霍恩分类”算法，分析公式以确定该逻辑是 NP-完全还是 PSPACE-难。
• 他们将树状模型性质推广，以推导出不涉及传递性的逻辑的 PSPACE 上界。
• 他们证明所有扩展 K(T) 的逻辑（即自反逻辑）都具有 PSPACE 有界的可满足性问题。
• 他们在霍恩分类中使用类型列表数据结构，以检测传递性或对称性等结构特性。
• 他们证明，若一个逻辑避免传递性相关条件且包含自反性或近似对称性，则其可满足性问题属于 PSPACE。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些全称霍恩公式，其对应的模态逻辑的可满足性问题是 NP-完全的？
• RQ2 在该类模态逻辑中，区分 NP-完全与 PSPACE-难可满足性问题的精确条件是什么？
• RQ3 能否为所有由全称霍恩公式定义的模态逻辑建立 PSPACE 上界？
• RQ4 拉德纳关于自反与传递框架的 PSPACE-难结果在此类中是否是最优的？
• RQ5 该类中 NP-完全性是否精确对应于多项式大小模型性质的存在？

主要发现

• 由非平凡全称霍恩公式定义的每一个模态逻辑的可满足性问题，要么是 NP-完全的，要么是 PSPACE-难的。
• 一个简单的判别标准——由霍恩分类算法确定——可区分 NP-完全性与 PSPACE-难性。
• 所有扩展逻辑 K(T)（即蕴含自反性的逻辑）的全称霍恩逻辑都具有 PSPACE 有界的可满足性问题。
• 本文证明了拉德纳关于自反与传递框架的经典 PSPACE-难结果在此类中是最优的，因为此类中没有任何逻辑比 PSPACE 更难。
• 该类中逻辑的 NP-完全性等价于其具有多项式大小模型性质。
• 推论表明，所有扩展逻辑 B（包含对称性）的逻辑也具有 PSPACE 有界的可满足性问题。