[论文解读] On the Complexity of Exact Pattern Matching in Graphs: Determinism and Zig-Zag Matching

Massimo Equi, Roberto Grossi+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文在正交向量假设（OV）下建立了标签图中精确模式匹配的条件下界，证明该问题即使在受限情况下（如最大度为二的无向图（锯齿匹配）和确定性有向无环图）也无法在亚二次时间内求解。该结果扩展了先前在强指数时间假设（SETH）下的工作，表明在这些设定下，$O(|E|m)$ 的时间界限依然不可避免。

ABSTRACT

Exact pattern matching in labeled graphs is the problem of searching paths of a graph $G=(V,E)$ that spell the same string as the given pattern $P[1..m]$. This basic problem can be found at the heart of more complex operations on variation graphs in computational biology, query operations in graph databases, and analysis of heterogeneous networks, where the nodes of some paths must match a sequence of labels or types. In our recent work we described a conditional lower bound stating that the exact pattern matching problem in labeled graphs cannot be solved in less than quadratic time, namely, $O(|E|^{1 - ε} \, m)$ time or $O(|E| \, m^{1 - ε})$ time for any constant $ε>0$, unless the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH) is false. The result holds even if node labels and pattern $P$ are drawn from a binary alphabet, and $G$ is restricted to undirected graphs of maximum degree three or directed acyclic graphs of maximum sum of indegree and outdegree three. It was left open what happens on undirected graphs of maximum degree two, i.e., when the pattern can have a zig-zag match in a (cyclic) bidirectional string. Also, the reduction created a non-determistic directed acyclic graph, and it was left open if determinism would make the problem easier. In this work, we show through the Orthogonal Vectors hypothesis (OV) that the same conditional lower bound holds even for these restricted cases.

研究动机与目标

• 通过分析先前工作留下的受限情况，填补标签图中精确模式匹配复杂性理解的空白。
• 探究确定性或结构限制（如最大度为二）是否能降低标签图中模式匹配的复杂性。
• 将先前在强指数时间假设（SETH）下的条件化下界扩展至更弱的正交向量假设（OV），适用于这些受限图类。
• 证明在双向字符串和确定性DAG中的锯齿匹配问题中，$O(|E|m)$ 时间界限在OV假设下依然最优。

提出的方法

• 从正交向量（OV）问题到标签图中精确模式匹配问题的归约构造。
• 设计一个图结构 $LG$，由专门的子图 $LG_{U}^{(j)}$、$LG_{W}^{(j)}$ 和 $LG_{D}^{(j)}$ 组成，以编码向量分量及其点积。
• 利用带字符串标签的节点模拟向量正交性检查：$LG_{W}^{(j)}$ 中的匹配对应于向量之间的零点积。
• 引入两个修改后的模式 $P^{(1)}$ 和 $P^{(2)}$，以确保模式的每个子模式都能在中心 $LG_{W}^{(j)}$ 组件中被测试是否匹配。
• 利用仅偶数位置的子模式能与 $LG_{W}^{(j)}$ 匹配的事实，并通过模式交换覆盖所有位置。
• 证明等价性：当且仅当 $X$ 和 $Y$ 中存在正交向量时，$P^{(1)}$ 或 $P^{(2)}$ 在 $LG$ 中有匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最大度为二的无向图中，是否能打破标签图中精确模式匹配的 $O(|E|m)$ 时间界限，此时可实现锯齿匹配？
• RQ2 与非确定性DAG相比，有向无环图（DAG）中的确定性是否能降低精确模式匹配的复杂性？
• RQ3 在受限图类中，SETH下的条件化下界是否也适用于更弱的正交向量假设（OV）？
• RQ4 能否将用于一般图的归约技术适配到结构子类（如度为二的无向图和确定性DAG）中，以保持其困难性？

主要发现

• 在正交向量假设（OV）下，即使在最大度为二的无向图中，标签图中的精确模式匹配问题也无法在 $O(|E|^{1- ho}m)$ 或 $O(|E|m^{1- ho})$ 时间内求解，其中 $\rho > 0$。
• 该条件化下界同样适用于确定性有向无环图（DAG），表明在此上下文中确定性并未使问题变得更简单。
• 归约构造出的图满足：当且仅当输入集合中存在正交向量时，模式才与图匹配，从而保持了正交性判定问题的结构。
• 通过使用两个修改后的模式 $P^{(1)}$ 和 $P^{(2)}$，确保无论位置如何，每个子模式都能在中心 $LG_{W}^{(j)}$ 组件中被测试匹配。
• 即使子模式数量为奇数，构造依然稳健，通过添加一个不干扰归约的虚拟子模式实现。
• 结果确认，在标准复杂性假设下，$O(|E|m)$ 时间界限在标签图的精确模式匹配中本质上是最优的，即使在高度受限的图类中也是如此。