[论文解读] On the Complexity of finding Stopping Distance in Tanner Graphs

K. Murali Krishnan, Priti Shankar|ArXiv.org|Dec 28, 2005

Error Correcting Code Techniques参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文证明了在Tanner图中确定停止距离——这对于分析LDPC码的迭代译码失败至关重要——是NP完全问题。通过将NP完全的顶点覆盖问题约化为停止集决策问题，作者确立了寻找最小停止集大小（即停止距离）在计算上是不可解的，这意味着除非P=NP，否则不存在多项式时间算法。

ABSTRACT

Two decision problems related to the computation of stopping sets in Tanner graphs are shown to be NP-complete. NP-hardness of the problem of computing the stopping distance of a Tanner graph follows as a consequence

研究动机与目标

• 确立在Tanner图中确定停止集的计算复杂度，这些停止集对于理解LDPC码中迭代译码失败至关重要。
• 研究寻找停止距离——即最小停止集的大小——是否在计算上是可行的。
• 正式证明与停止集相关的两个决策问题的NP完全性：是否存在大小恰好为t的停止集，以及是否存在大小至多为t的停止集。
• 通过从顶点覆盖问题的约化，证明计算停止距离的问题是NP难的。
• 为理解在分析LDPC码中停止集分布时高效算法的局限性提供理论基础。

提出的方法

• 通过多项式时间变换，将NP完全的顶点覆盖问题约化为Tanner图中的停止集决策问题。
• 从输入图$G$构造一个修改后的Tanner图$G''$，使得$G$中的顶点覆盖与$G''$中的停止集之间存在一一对应关系。
• 采用分层构造方法，使用$m+1$个左节点副本和辅助右节点，以编码边约束并强制满足停止集条件。
• 证明$G$中大小为$t$的顶点覆盖意味着$G''$中存在大小为$t(m+1)+m$的停止集，反之亦然。
• 证明停止集的成员资格验证可在线性时间内完成，从而确认这些问题属于NP。
• 应用标准的NP完全性理论：若一个已知的NP完全问题可约化为一个NP中的问题，则后者也是NP完全的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Tanner图中确定是否存在给定大小的停止集的问题在计算上是否可行？
• RQ2 在Tanner图中确定是否存在大小至多为给定值的停止集的问题是否属于P类？
• RQ3 能否在多项式时间内计算Tanner图的停止距离？
• RQ4 顶点覆盖问题的NP完全性与停止集计算复杂度之间有何关系？
• RQ5 若存在一个计算停止距离的多项式时间算法，是否意味着可解决顶点覆盖问题？

主要发现

• 决策问题STOPPING SET——即Tanner图中是否存在大小恰好为$t$的停止集——是NP完全的。
• 决策问题STOPPING DISTANCE——即Tanner图中是否存在大小至多为$t$的停止集——是NP完全的。
• 计算Tanner图停止距离的问题是NP难的，因为它可约化为NP完全的STOPPING DISTANCE问题。
• 从顶点覆盖问题到停止集问题的多项式时间约化，确立了这两个决策问题的NP完全性。
• 从$G$构造$G''$的过程确保了$G$中大小为$t$的顶点覆盖与$G''$中大小为$t(m+1)+m$的停止集之间存在一一对应关系。
• 结果表明，除非P = NP，否则不存在用于计算停止距离的多项式时间算法，这突显了在LDPC码分析中固有的计算局限性。