[论文解读] On the Complexity of Isomorphism Problems for Tensors, Groups, and Polynomials III: Actions by Classical Groups

Zhili Chen, Joshua A. Grochow+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2023

Tensor decomposition and applications被引用 2

一句话总结

本文研究了在正交、酉和辛群作用下，三阶张量同构问题的计算复杂性，表明正交群和辛群下的同构问题可约化为一般线性群下的同构问题。此外，本文建立了正交群和酉群在三阶张量上的五种自然作用在同构复杂性上的多项式时间等价性，并证明图同构问题可约化为正交群和酉群下的张量同构问题。

ABSTRACT

We study the complexity of isomorphism problems for d-way arrays, or tensors, under natural actions by classical groups such as orthogonal, unitary, and symplectic groups. Such problems arise naturally in statistical data analysis and quantum information. We study two types of complexity-theoretic questions. First, for a fixed action type (isomorphism, conjugacy, etc.), we relate the complexity of the isomorphism problem over a classical group to that over the general linear group. Second, for a fixed group type (orthogonal, unitary, or symplectic), we compare the complexity of the decision problems for different actions. Our main results are as follows. First, for orthogonal and symplectic groups acting on 3-way arrays, the isomorphism problems reduce to the corresponding problem over the general linear group. Second, for orthogonal and unitary groups, the isomorphism problems of five natural actions on 3-way arrays are polynomial-time equivalent, and the d-tensor isomorphism problem reduces to the 3-tensor isomorphism problem for any fixed d>3. For unitary groups, the preceding result implies that LOCC classification of tripartite quantum states is at least as difficult as LOCC classification of d-partite quantum states for any d. Lastly, we also show that the graph isomorphism problem reduces to the tensor isomorphism problem over orthogonal and unitary groups.

研究动机与目标

• 理解在正交、酉和辛群等经典群作用下张量同构问题的计算复杂性。
• 比较同一类群的不同作用（例如，共轭、等价）下同构问题的复杂性。
• 将经典群作用下的同构复杂性与一般线性群作用下的复杂性进行关联。
• 建立张量同构与复杂性理论中的基本问题（如图同构和量子信息中的LOCC分类）之间的联系。
• 为多重线性代数和量子系统中的同构问题提供统一的复杂性理论框架。

提出的方法

• 通过群作用分析，将正交群、辛群和酉群作用下的同构问题约化为相应的一般线性群问题。
• 使用块同构和关联块同构技术，分解张量结构并简化同构性测试。
• 应用多项式时间算法，将张量在保持群作用的直和分解下变换为规范形式。
• 利用已知的TI-完全性结果，表明图同构和LOCC分类可约化为经典群作用下的张量同构问题。
• 将同构问题表述为带有群不变性约束（例如正交群：X^t X = I）的多项式方程组求解问题。
• 使用计算代数系统（如Magma）在有限域上采样随机正交矩阵，以在实践中测试同构性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正交群和辛群作用于三阶张量时，其同构问题是否可约化为一般线性群下的同构问题？
• RQ2 正交群和酉群在三阶张量上的五种自然作用在同构复杂性上是否为多项式时间等价？
• RQ3 对于d > 3，d阶张量同构问题是否可在酉或正交群作用下约化为三阶张量同构问题？
• RQ4 在酉群作用下，三体量子态的LOCC分类是否至少与d > 3的d体量子态LOCC分类一样困难？
• RQ5 图同构问题是否可约化为正交群和酉群作用下的张量同构问题？

主要发现

• 对于作用于三阶数组的正交群和辛群，其同构问题可约化为一般线性群下的相应问题。
• 对于正交群和酉群，其在三阶数组上的五种自然作用在同构复杂性上为多项式时间等价。
• 在酉群作用下，任意固定的d > 3时，d阶张量同构问题可约化为三阶张量同构问题。
• 在酉群作用下，三体量子态的LOCC分类至少与任意d > 3的d体量子态LOCC分类一样困难。
• 图同构问题可约化为正交群和酉群作用下的张量同构问题。
• 经典群作用下的同构复杂性与TI-完全性框架紧密关联，具有在量子信息和统计数据分析中的实际意义。