[论文解读] On the Complexity of Learning with Kernels
本文建立了核学习计算复杂度的基本下界，表明对于某些问题，任何依赖有限核矩阵条目或低秩近似的算法都无法实现非平凡的计算加速。其核心贡献在于理论上刻画了在何种条件下，高效核学习本质上是不可能的，具体取决于损失函数、正则化、预测器范数和核矩阵秩。
A well-recognized limitation of kernel learning is the requirement to handle a kernel matrix, whose size is quadratic in the number of training examples. Many methods have been proposed to reduce this computational cost, mostly by using a subset of the kernel matrix entries, or some form of low-rank matrix approximation, or a random projection method. In this paper, we study lower bounds on the error attainable by such methods as a function of the number of entries observed in the kernel matrix or the rank of an approximate kernel matrix. We show that there are kernel learning problems where no such method will lead to non-trivial computational savings. Our results also quantify how the problem difficulty depends on parameters such as the nature of the loss function, the regularization parameter, the norm of the desired predictor, and the kernel matrix rank. Our results also suggest cases where more efficient kernel learning might be possible.
研究动机与目标
- 识别核学习中固有的计算障碍，这些障碍使得尽管采用子集采样或低秩近似等常见技术，仍无法实现高效近似。
- 量化在核学习问题中实现非平凡误差界所需的最少核条目数量或秩。
- 分析问题难度如何依赖于损失函数类型、正则化参数、预测器范数和核矩阵秩。
- 确定在何种条件下仍可能存在更高效的核学习方法。
提出的方法
- 推导仅访问核矩阵中有限数量条目的任何核学习算法的误差下界。
- 分析观测核条目数量与可实现泛化误差之间的权衡。
- 利用谱分解和矩阵近似技术，将核矩阵的结构与学习复杂度关联起来。
- 通过将已知难题归约到核学习问题，证明某些核学习问题无法被高效近似。
- 同时考虑完整核矩阵访问和低秩近似作为计算约束。
- 应用表示定理，将学习问题简化为在训练特征张成空间中的系数向量优化。
实验结果
研究问题
- RQ1能否通过仅观测核矩阵中子线性数量的条目来高效近似核学习？
- RQ2是否可以利用核矩阵的低秩近似实现非平凡的误差界？
- RQ3损失函数的选择如何影响核学习的计算复杂度？
- RQ4正则化参数在决定高效核学习可行性方面起什么作用？
- RQ5在何种条件下，高效核学习被证明是不可能的？
主要发现
- 存在某些核学习问题，使得任何基于仅采样子线性数量核条目的方法都无法实现非平凡的误差界。
- 为达到特定误差水平而所需的核条目数量取决于核矩阵的秩以及损失函数的性质。
- 对于某些损失函数和正则化参数，即使采用低秩近似也无法提供计算加速。
- 核学习的难度与期望预测器的范数以及核矩阵的谱特性定量相关。
- 本文识别出特定参数区域，在这些区域内理论上可能存在更高效的核学习方法，从而界定了困难与可解情况之间的边界。
- 结果表明，对于某些问题，必须计算完整的核矩阵才能实现良好的泛化性能，从而排除了可扩展近似方法的可行性。
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