[论文解读] On the Complexity of Random Quantum Computations and the Jones Polynomial

Ryan L. Mann, Michael J. Bremner|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 9

一句话总结

本文建立了模拟随机量子计算的经典复杂度与近似琼斯多项式平均情况难度之间的直接联系。在多项式层次不坍塌且相对误差近似琼斯多项式在平均情况下与最坏情况下难度相当的假设下，作者证明了对常数总变差距离内的随机量子电路进行经典模拟是不可能的。

ABSTRACT

There is a natural relationship between Jones polynomials and quantum computation. We use this relationship to show that the complexity of evaluating relative-error approximations of Jones polynomials can be used to bound the classical complexity of approximately simulating random quantum computations. We prove that random quantum computations cannot be classically simulated up to a constant total variation distance, under the assumption that (1) the Polynomial Hierarchy does not collapse and (2) the average-case complexity of relative-error approximations of the Jones polynomial matches the worst-case complexity over a constant fraction of random links. Our results provide a straightforward relationship between the approximation of Jones polynomials and the complexity of random quantum computations.

研究动机与目标

• 建立模拟随机量子计算的经典复杂度与近似琼斯多项式平均情况复杂度之间的联系。
• 研究琼斯多项式的相对误差近似在平均情况下是否与最坏情况下同样困难，这是复杂度界的一个关键假设。
• 将现有的量子优势论证——此前基于永久行列式和其他困难函数——扩展至琼斯多项式，作为量子计算优越性的新候选。
• 提供形式化证明，表明在标准复杂性理论假设下，对常数总变差距离内的随机量子线路进行经典模拟是不可能的。
• 利用近似酉设计和反浓度界来加强基于琼斯多项式的量子优势复杂性理论论证。

提出的方法

• 利用琼斯多项式已知的量子计算通用性，将其近似复杂度与量子线路采样问题联系起来。
• 应用斯托克迈尔计数定理，通过访问 NP 和 FBPP 类，实现对琼斯多项式的相对误差近似。
• 采用近似酉 t-设计（t ≥ 2）来建模随机量子线路，并推导矩阵元的反浓度界。
• 使用 Paley-Zygmund 不等式，基于近似设计条件，界定随机酉矩阵矩阵元超过阈值的概率。
• 将反浓度界与多项式层次中的近似计数相结合，表明经典模拟将导致 PH 崩溃。
• 依赖于一个猜想：相对误差近似琼斯多项式的平均情况复杂度与最坏情况复杂度在常数比例的随机链上一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用近似琼斯多项式的平均情况难度来界定模拟随机量子线路的经典复杂度？
• RQ2 在何种条件下，琼斯多项式相对误差近似的平均情况复杂度与最坏情况复杂度一致？
• RQ3 近似琼斯多项式的困难性是否意味着随机量子线路无法在常数总变差距离内被经典模拟？
• RQ4 近似酉设计和矩阵元的反浓度性质如何支持基于琼斯多项式的量子优势论证？
• RQ5 多项式层次在排除通过琼斯多项式近似实现随机量子线路高效经典模拟中起到什么作用？

主要发现

• 在多项式层次不坍塌的假设下，对常数总变差距离内的随机量子线路进行经典模拟是不可能的。
• 本文证明，若琼斯多项式的相对误差近似在平均情况下与最坏情况下同样困难（猜想1），则随机量子线路的经典模拟在经典上是不可行的。
• 作者建立了：对于来自 ε-近似 t-设计（t ≥ 2）的酉矩阵，满足反浓度界：当 0 ≤ γ ≤ 1−ε 时，|⟨α|U|β⟩|² 超过 γ/d 的概率至少为 (1−ε−γ)²/(2(1+ε))。
• 利用斯托克迈尔定理，本文表明可在 FBPP^NP^C 中实现对琼斯多项式的相对误差近似，从而在多项式时间相对误差内实现经典近似。
• 该证明依赖于通过反浓度和近似计数来界定随机量子线路输出分布与理想分布之间 l1 距离的上界。
• 该结果将量子优势论证框架从永久行列式和其他计数问题扩展至琼斯多项式，拓宽了可作为量子优势证据的函数类别。