[论文解读] On the Complexity of Real Functions

Mark Braverman|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用 6

一句话总结

本论文提出了一套新颖的实函数可计算性与复杂性框架，统一并扩展了BSS模型与比特可计算性，允许处理不连续及多值函数。通过基于函数图像的有效可计算性定义可计算性，并引入弱可计算性与强可计算性概念，该框架使连续函数实现多项式时间可计算性，同时揭示了不连续函数的复杂性间隙，表明图像的多项式时间可计算性对某些函数意味着P = NP。

ABSTRACT

We develop a notion of computability and complexity of functions over the reals, which seems to be very natural when one tries to determine just how "difficult" a certain function is. This notion can be viewed as an extension of both BSS computability [Blum, Cucker, Shub, Smale 1998], and bit computability in the tradition of computable analysis [Weihrauch 2000] as it relies on the latter but allows some discontinuities and multiple values.

研究动机与目标

• 开发实函数的可计算性与复杂性理论，以捕捉‘容易’与‘困难’计算的直观概念。
• 解决BSS模型的局限性，该模型排除了exp(x)和√x等函数，以及比特可计算性模型对不连续函数（如Heaviside阶跃函数）的排除。
• 将可计算性扩展至多值函数，如√: C → C，其缺乏连续分支。
• 建立与离散复杂性类（如P与NP）一致的实函数复杂性层次结构。
• 表明对某些不连续函数，图像的多项式时间可计算性意味着P = NP，揭示了根本性的复杂性权衡。

提出的方法

• 提出一种基于函数f: R^k → R^ℓ图像的有效可计算性的新型可计算性模型，利用对输入的二进制逼近的预言机访问。
• 定义三种复杂性概念：图像的强、弱与标准多项式时间可计算性，其中强可计算性蕴含标准可计算性，标准可计算性蕴含弱可计算性。
• 使用查询输入x的二进制逼近以计算f(x)的二进制逼近的预言机图灵机，达到所需精度。
• 应用模连续性概念刻画连续函数的多项式时间可计算性，将其与经典复杂性联系起来。
• 构造一个多值、不连续函数f: [0,1] → P([0,1])，其图像为强多项式时间可计算，但计算f本身在多项式时间内将意味着P = NP。
• 证明在BSS模型中，集合A可在−log x的多项式时间内计算，但其关联函数f(x,y) = x·χA(x,y)若无P中解决SAT，则无法实现图像的多项式时间计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一个统一的复杂性框架，以扩展实函数的BSS可计算性与比特可计算性？
• RQ2 如何对不连续及多值实函数（如Heaviside阶跃函数或复数平方根）进行有意义的可计算性分类？
• RQ3 函数图像的多项式时间可计算性与函数本身多项式时间可计算性之间有何关系？
• RQ4 对于某些不连续函数，图像的多项式时间可计算性是否存在更强的复杂性后果（如P = NP）？
• RQ5 BSS可计算集合A在−log x的多项式时间内运行，是否会导致函数不可实现图像的多项式时间计算？

主要发现

• 具有多项式模连续性的连续函数，其图像多项式时间可计算当且仅当其在标准定义下为多项式时间可计算。
• 存在一个不连续、多值函数f: [0,1] → P([0,1])，其图像为强多项式时间可计算，但若在多项式时间内计算f本身，则意味着P = NP。
• 同一函数表明，f的标准多项式时间可计算性并不蕴含其图像的强多项式时间可计算性，除非P = NP。
• 一个BSS可计算集合A ⊂ [0,1]×[−1,1]，其运行时间在−log x上为多项式，导致函数f(x,y) = x·χA(x,y)为BSSε,b_C可计算，但其图像无法在不于P中解决SAT的前提下实现多项式时间计算。
• 该框架表明，图像的弱可计算性等价于标准比特可计算性，且在一般情况下，图像的强可计算性严格强于标准函数可计算性。
• 结果表明，实函数的复杂性在很大程度上取决于计算的是函数本身还是其图像，且不连续性可导致根本性的复杂性间隙。