[论文解读] On the Complexity of Real Root Isolation

Michael Sagraloff|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用 22

一句话总结

本论文提出了一种新的确定性算法，用于隔离具有实系数的平方自由多项式的实根，通过应用近似版的笛卡尔法则，其中中间多项式以有界精度计算。该方法在整系数多项式上实现了 $ ilde{O}(n^3 au^2)$ 的位复杂度——相比之前实用的方法提高了 $n$ 倍——通过证明根隔离的复杂度仅取决于根的几何结构，而非系数大小或类型。

ABSTRACT

We introduce a new approach to isolate the real roots of a square-free polynomial $F=\sum_{i=0}^n A_i x^i$ with real coefficients. It is assumed that each coefficient of $F$ can be approximated to any specified error bound. The presented method is exact, complete and deterministic. Due to its similarities to the Descartes method, we also consider it practical and easy to implement. Compared to previous approaches, our new method achieves a significantly better bit complexity. It is further shown that the hardness of isolating the real roots of $F$ is exclusively determined by the geometry of the roots and not by the complexity or the size of the coefficients. For the special case where $F$ has integer coefficients of maximal bitsize $τ$, our bound on the bit complexity writes as $ ilde{O}(n^3τ^2)$ which improves the best bounds known for existing practical algorithms by a factor of $n=deg F$. The crucial idea underlying the new approach is to run an approximate version of the Descartes method, where, in each subdivision step, we only consider approximations of the intermediate results to a certain precision. We give an upper bound on the maximal precision that is needed for isolating the roots of $F$. For integer polynomials, this bound is by a factor $n$ lower than that of the precision needed when using exact arithmetic explaining the improved bound on the bit complexity.

研究动机与目标

• 开发一种实用、精确且确定性的算法，用于隔离具有实系数的平方自由多项式的实根。
• 将实根隔离的位复杂度降低至现有实用方法（如笛卡尔法或连分数法）的水平以下。
• 证明根隔离的复杂度仅由根的几何结构决定——具体而言，由 $\Gamma_F$ 和 $\Sigma_F$ 决定——而非系数类型或大小。
• 证明在最坏情况下，使用近似算术而非精确算术可带来可证明的复杂度改进。
• 通过在实根隔离中实现接近最优的复杂度，弥合实用算法与复根隔离的渐近快速方法之间的差距。

提出的方法

• 该算法在每个递归步骤中，对多项式系数的近似值应用修改后的笛卡尔法则，控制精度位数。
• 在每个区间 $I$ 上维护一个精度边界 $\rho_I$，并根据根隔离所需的精度动态调整。
• 该方法使用一个认证步骤，检查是否存在 $f_I$ 的 $\rho_I$-近似 $g$，其符号变化恰好为一次，从而确保根被隔离。
• 它采用递归细分策略，仅在必要精度下计算近似值 $\tilde{f}_I$，从而降低计算成本。
• 该算法利用了在小区间内，变换后多项式 $f_I(x) = f(a + w(I)x)$ 的首项系数变小的特性，从而在近似中实现降次。
• 它使用基于 $\mathcal{T}'_{3/2}$-检验的修改版包含性判定，该方法计算高效，且在实践中与笛卡尔符号法则相当。

实验结果

研究问题

• RQ1 在笛卡尔法则中使用近似算术是否能带来实根隔离最坏情况位复杂度的可证明降低？
• RQ2 实根隔离的复杂度在多大程度上取决于系数大小，而非根的几何结构？
• RQ3 是否可以通过避免使用精确算术，在保持正确性和完备性的前提下实现复杂度改进？
• RQ4 近似所需的精度如何随根间距和对数根界变化而变化？
• RQ5 在细分过程中，近似多项式的次数是否可以降低，且这种降低是否带来显著的性能提升？

主要发现

• 该算法在整系数多项式上实现了最坏情况下的位复杂度 $ ilde{O}(n^3\tau^2)$，相比现有实用方法的最佳已知界提高了 $n$ 倍。
• 实根隔离的复杂度完全取决于根的几何结构——由 $\Gamma_F$ 和 $\Sigma_F$ 表征——与系数类型或大小无关。
• 与精确算术相比，近似所需的最高精度降低了 $n$ 倍，这解释了复杂度边界的改进。
• 对于根间距较近的多项式（如米格诺特多项式），在细分过程中近似多项式 $\tilde{f}_I$ 的次数会下降，从而显著降低计算成本。
• 通过仅对隔离区间之间的区域进行细分，而非整个初始区间，认证步骤的时间开销可几乎忽略不计。
• 由于该方法在结构上与经典笛卡尔方法相似，因此实用且易于实现，原型实现显示出优异的性能。