[论文解读] On the Complexity of Team Logic and Its Two-Variable Fragment

Martin Lück|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 3被引用 5

一句话总结

该论文证明了带有布尔否定的团队逻辑二元片段 FO2(∼) 的满足性问题具有可判定性，且其复杂度属于非元素复杂度类 TOWER(poly)。作者通过有限模型性质以及从模态团队逻辑（MTL）到 FO2(∼) 的新颖翻译方法，实现了该结果，该翻译扩展了从模态逻辑到一阶逻辑的标准翻译。此外，根据变量和量化阶数的约束，模型检查的复杂度被分类为 PSPACE 或 ATIME-ALT(exp, poly)- 完全。

ABSTRACT

We study the logic FO(~), the extension of first-order logic with team semantics by unrestricted Boolean negation. It was recently shown axiomatizable, but otherwise has not yet received much attention in questions of computational complexity. In this paper, we consider its two-variable fragment FO2(~) and prove that its satisfiability problem is decidable, and in fact complete for the recently introduced non-elementary class TOWER(poly). Moreover, we classify the complexity of model checking of FO(~) with respect to the number of variables and the quantifier rank, and prove a dichotomy between PSPACE- and ATIME-ALT(exp, poly)-completeness. To achieve the lower bounds, we propose a translation from modal team logic MTL to FO2(~) that extends the well-known standard translation from modal logic ML to FO2. For the upper bounds, we translate to a fragment of second-order logic.

研究动机与目标

• 确定带有布尔否定的团队逻辑二元片段 FO2(∼) 的满足性与有效性问题的计算复杂度。
• 为 FO2(∼) 建立有限模型性质，以支持可判定性结果。
• 根据变量数量和量化阶数，对 FO(∼, D) 的模型检查复杂度进行分类，揭示 PSPACE 与 ATIME-ALT(exp, poly) 复杂度之间的二分性。
• 开发一种从模态团队逻辑（MTL）到 FO2(∼) 的翻译方法，该方法扩展了从模态逻辑到一阶逻辑的标准翻译，从而支持下界构造。

提出的方法

• 提出一种从模态团队逻辑（MTL）到 FO2(∼) 的新颖标准翻译，扩展了从模态逻辑（ML）到 FO2 的经典标准翻译。
• 该翻译保持满足性，并通过将 MTL 满足性问题归约到 FO2(∼) 来证明 FO2(∼) 的 TOWER(poly)- 硬性。
• 为 FO2(∼) 建立了有限模型性质，确保每个满足的公式都存在有限模型。
• 通过将 FO(∼, D) 公式翻译为二阶逻辑（SO），分析了模型检查的复杂度，从而在 ATIME-ALT(exp, poly) 范围内获得上界。
• 证明了模型检查复杂度的二分性：当变量数量和量化阶数受限制时，其为 PSPACE- 完全；否则为 ATIME-ALT(exp, poly)- 完全。
• 通过二阶逻辑翻译，从有限模型性质和模型检查的上界推导出 FO2(∼) 满足性问题的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 带有布尔否定的团队逻辑二元片段 FO2(∼) 的满足性问题的计算复杂度是什么？
• RQ2 FO2(∼) 是否具有有限模型性质？该性质如何影响其可判定性？
• RQ3 当变量数量和量化阶数受限制时，FO(∼, D) 的模型检查复杂度是什么？
• RQ4 能否将从模态逻辑到一阶逻辑的标准翻译扩展到团队语义，以在 FO2(∼) 中捕获模态团队逻辑？
• RQ5 k- 量化阶数片段 FO2_k(∼) 的满足性问题是否也属于 TOWER(poly)- 完全，还是需要不同的复杂度类？

主要发现

• FO2(∼) 的满足性与有效性问题均属于非元素复杂度类 TOWER(poly)- 完全。
• 当变量数量和量化阶数无限制时，FO(∼, D) 的模型检查问题为 ATIME-ALT(exp, poly)- 完全。
• 当变量数量和量化阶数受限制时，FOn_k(∼, D) 的模型检查问题为 PSPACE- 完全。
• 构造了一种从模态团队逻辑（MTL）到 FO2(∼) 的翻译，保持满足性，并通过归约支持了硬性结果的建立。
• FO2(∼) 满足有限模型性质，即每个满足的公式都存在有限模型，这对满足性问题的上界至关重要。
• FO2_k(∼) 的满足性问题被证明为 ATIME-ALT(expk+1, poly)- 硬，提示可能存在一个匹配的上界，但该问题仍为开放问题。