[论文解读] On the Complexity of the Circular Chromatic Number

Hamed Hatami, Ruzbeh Tusserkani|ArXiv.org|Dec 31, 2006

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文確立了確定圖形之圓形色數的計算複雜度，證明即使已知色數，判斷是否 $\chi_c(G) = \chi(G)$ 仍為 NP-困難。此外，本文進一步證明，對於任意 $k \geq 2$ 和 $n \geq 3$，當 $\chi(G) = n$ 時，驗證 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ 為 NP-完全，解決了朱旭東提出的開放問題。

ABSTRACT

Circular chromatic number, $χ_c$ is a natural generalization of chromatic number. It is known that it is \NP-hard to determine whether or not an arbitrary graph $G$ satisfies $χ(G) = χ_c(G)$. In this paper we prove that this problem is \NP-hard even if the chromatic number of the graph is known. This answers a question of Xuding Zhu. Also we prove that for all positive integers $k \ge 2$ and $n \ge 3$, for a given graph $G$ with $χ(G)=n$, it is \NP-complete to verify if $χ_c(G) \le n- \frac{1}{k}$.

研究动机与目标

• 解決在已知色數的情況下，判斷圓形色數是否等於色數的複雜度問題。
• 探討相對於色數，驗證圓形色數邊界之計算困難度。
• 建立圖形 $G$ 滿足 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ 決策問題的 NP-完全性，其中 $\chi(G) = n$ 且 $k \geq 2$。
• 提出使用特定子圖進行圖形取代的還原架構，以編碼著色約束。

提出的方法

• 透過將 $G'$ 的每條邊以專用圖 $H$ 的副本取代，構造圖 $G$，僅在特定著色條件下，使關聯的有向圖 $D_c$ 為無環。
• 利用引理 2 表明 $D_c(H)$ 無環，當且僅當被取代邊的端點在 $\{0,1,2\}$ 中獲得不同顏色，進而實現從 3-著色問題的還原。
• 定義一圖 $K$，具有 $(kn-1,k)$-著色性質：此類著色存在，當且僅當兩指定頂點 $a$ 和 $b$ 擁有不同顏色。
• 透過將 $G' \sqcup K_n$ 中的邊以 $K$ 的副本取代，構造 $G$，確保 $\chi(G) = n$，並連結 $(kn-1,k)$-著色的存在性與 $G'$ 的 $kn-1$-著色性。
• 利用引理 A 將 $D_c(G)$ 的無環性與 $\chi_c(G) < p/q$ 連結，進而實現對圓形色數邊界的還原。
• 應用定理 A（3-著色與 5-著色的 NP-困難性）以確立該決策問題的 NP-困難性。

实验结果

研究问题

• RQ1 當 $\chi(G)$ 已知時，判斷 $\chi_c(G) = \chi(G)$ 是否為 NP-困難？
• RQ2 對於固定的 $n \geq 3$，是否為 NP-完全問題，以判斷 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$，其中 $\chi(G) = n$ 且 $k \geq 2$？
• RQ3 能否在多項式時間內精確地以色數界定圓形色數？
• RQ4 圖形著色有向圖 $D_c$ 的何種結構性質，決定了 $\chi_c(G) < p/q$？

主要发现

• 即使已知 $\chi(G)$，判斷 $\chi_c(G) = \chi(G)$ 的問題仍為 NP-困難，回答了朱旭東的疑問。
• 對於所有整數 $k \geq 2$ 和 $n \geq 3$，當 $\chi(G) = n$ 時，驗證 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ 為 NP-完全。
• 透過將 $G'$ 的邊以 $H$ 的副本取代所構造的圖 $G$，滿足 $\chi_c(G) < 4$，當且僅當 $G'$ 為 3-著色。
• 所構造圖 $G$ 存在 $(kn-1,k)$-著色，當且僅當 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$，且此條件與 $G'$ 的 $kn-1$-著色性直接相關。
• 用於構造的圖 $K$，其存在 $(kn-1,k)$-著色且 $c(a) \neq c(b)$，當且僅當 $c(a) \neq c(b)$，此性質對還原至關重要。
• 對於 $(p,q)$-著色 $c$，圖 $D_c(G)$ 的無環性等價於 $\chi_c(G) < p/q$，此等價關係用於表徵圓形色數。