[论文解读] On the Complexity of the $k$-Anonymization Problem

Venkatesan T. Chakaravarthy, Vinayaka Pandit+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Privacy-Preserving Technologies in Data参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文在实际约束条件下确立了 $k$-匿名化问题的计算复杂度，证明即使当列数 $m$ 为常数（例如 $m=3$）时，该问题仍为 NP-难问题且为 MAXSNP-难问题，并且无法在 $\frac{6238}{6237}$ 因子内进行近似。此外，本文证明当 $m$ 和字母表大小 $|\Sigma|$ 均为常数时，该问题可在多项式时间内求解，从而解决了在小参数设置下可 tractability 的一个关键开放问题。

ABSTRACT

We study the problem of anonymizing tables containing personal information before releasing them for public use. One of the formulations considered in this context is the $k$-anonymization problem: given a table, suppress a minimum number of cells so that in the transformed table, each row is identical to atleast $k-1$ other rows. The problem is known to be NP-hard and MAXSNP-hard; but in the known reductions, the number of columns in the constructed tables is arbitrarily large. However, in practical settings the number of columns is much smaller. So, we study the complexity of the practical setting in which the number of columns $m$ is small. We show that the problem is NP-hard, even when the number of columns $m$ is a constant ($m=3$). We also prove MAXSNP-hardness for this restricted version and derive that the problem cannot be approximated within a factor of (6238/6237). Our reduction uses alphabets $Σ$ of arbitrarily large size. A natural question is whether the problem remains NP-hard when both $m$ and $|Σ|$ are small. We prove that the $k$-anonymization problem is in $P$ when both $m$ and $|Σ|$ are constants.

研究动机与目标

• 研究在列数 $m$ 较小的实际约束下 $k$-匿名化问题的复杂度。
• 确定当 $m$ 为常数时，该问题是否仍为 NP-难问题，尽管先前的归约依赖于任意大的 $m$。
• 在 $m$ 为常数的条件下，研究该问题的不可近似性，特别是与 $O(k)$-近似障碍的关系。
• 解决当 $m$ 和字母表大小 $|\Sigma|$ 均为固定常数时，该问题是否变得可 tractable。
• 在参数受限的条件下，对 $k$-匿名化问题提供完整的复杂度刻画。

提出的方法

• 通过从已知的 NP-难问题归约，证明即使 $m=3$ 时 $k$-匿名化问题仍为 NP-难问题，利用行模式与匿名化模式。
• 通过引入间隙的归约构造 MAXSNP-难性的证明，确立一个常数因子的不可近似性界。
• 使用整数线性规划（ILP）并限定变量数量为常数，当 $m$ 和 $|\Sigma|$ 均为常数时，可最优求解该问题。
• 将匿名化任务建模为具有非度量成本的设施选址类问题，其中模式为设施，行为客户。
• 遍历所有可能的匿名化模式子集，以猜测被打开（使用）的模式集合，然后对每个猜测求解 ILP。
• 利用 Lenstra 定理，在变量数量被常数限制时，可在多项式时间内求解 ILP。

实验结果

研究问题

• RQ1 当列数 $m$ 为常数（如 $m=3$）时，$k$-匿名化问题是否仍为 NP-难问题？
• RQ2 即使 $m$ 为常数，$k$-匿名化问题是否可实现优于 $\frac{6238}{6237}$ 的近似因子？
• RQ3 当列数 $m$ 与字母表大小 $|\Sigma|$ 均为固定常数时，该问题是否变为多项式时间可解？
• RQ4 当 $m = O(\log n)$ 时，$k$-匿名化问题的最佳可能近似比是多少？能否优于 $O(\log k)$？
• RQ5 在 $m$ 受限的条件下，$k$-匿名化问题是否存在多项式时间近似方案（PTAS）？

主要发现

• 即使列数 $m$ 固定为 3，$k$-匿名化问题仍为 NP-难问题，解决了关于实际复杂度的一个关键开放问题。
• 在相同约束下，该问题为 MAXSNP-难问题，意味着不存在多项式时间近似方案。
• 该问题无法在 $\frac{6238}{6237}$ 因子内近似，确立了该问题的首个显式不可近似性界。
• 当 $m$ 和 $|\Sigma|$ 均为常数时，通过变量数量为常数的 ILP，该问题可在多项式时间内求解。
• 不可近似性界 $\frac{6238}{6237}$ 即使在 $k=7$（固定常数）时依然成立。
• 该结果意味着，在标准复杂度假设下，改进 $O(k)$-近似可能在很大程度上不可行，尤其是在 $m$ 受限的场景中。