[论文解读] On the Complexity of the Minimum Latency Scheduling Problem on the Euclidean Plane

Henry Lin, Frans Schalekamp|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2012

Mobile Ad Hoc Networks参考文献 10被引用 6

一句话总结

该论文证明了在路径损耗指数 α ≥ 3 的情况下，当允许使用任意发射功率电平时，物理SINR模型下欧氏平面上的最小延迟调度（MLS）问题为NP难问题。作者通过从3-着色问题归约，构建了一个无线网络实例，其中当且仅当原图可3-着色时，存在一个3轮可行调度方案，同时通过功率控制和几何布局仔细控制干扰。

ABSTRACT

We show NP-hardness of the minimum latency scheduling (MLS) problem under the physical model of wireless networking. In this model a transmission is received successfully if the Signal to Interference-plus-Noise Ratio (SINR), is above a given threshold. In the minimum latency scheduling problem, the goal is to assign a time slot and power level to each transmission, so that all the messages are received successfully, and the number of distinct times slots is minimized. Despite its seeming simplicity and several previous hardness results for various settings of the minimum latency scheduling problem, it has remained an open question whether or not the minimum latency scheduling problem is NP-hard, when the nodes are placed in the Euclidean plane and arbitrary power levels can be chosen for the transmissions. We resolve this open question for all path loss exponent values $α\geq 3$.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：当节点位于欧氏平面上且允许使用任意发射功率电平时，最小延迟调度（MLS）问题是否为NP难问题。
• 证明即使不假设发射功率的上下限，该问题依然为NP难，从而扩展了先前需要此类约束的研究结果。
• 基于NP难性结果，证明MLS问题无法在优于4/3的常数因子内进行近似。
• 提供从图3-着色到MLS的构造性归约，通过几何布局与功率电平分配，模拟逻辑调度轮次。

提出的方法

• 从平面网格图的3-着色问题（NP完全问题）归约至欧氏平面上物理SINR模型下的MLS问题。
• 构建一个包含节点单元与边单元的网络实例，根据节点着色结果在三轮内调度传输。
• 对大多数传输使用功率电平1，对边单元与节点单元之间的“边界”传输使用功率电平2，以控制干扰。
• 通过仅考虑距离为n²以内的传输来限制对关键接收节点的干扰，并证明更远距离的传输对干扰的贡献可忽略（o(1/n)）。
• 通过几何与功率控制手段，证明所有预期接收均能成功，即SINR超过阈值。
• 证明原图存在可行的3-着色方案当且仅当构造的MLS实例存在一个3轮可行调度方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 当节点位于欧氏平面上且允许使用任意发射功率电平时，最小延迟调度问题是否为NP难问题？
• RQ2 是否可以在不假设发射功率上下限的前提下建立MLS的NP难性？
• RQ3 该难解性结果是否可推广至路径损耗指数α接近2的情况？
• RQ4 MLS问题是否难以在优于4/3的常数因子内进行近似？
• RQ5 该归约方法是否可调整以证明衰落度量或其他几何设置下的难解性？

主要发现

• 当路径损耗指数 α ≥ 3 且允许使用任意发射功率电平时，欧氏平面上的最小延迟调度问题为NP难问题。
• 作为NP难性结果的推论，该问题无法在优于4/3的常数因子内进行近似。
• 归约构造了一个无线网络实例，其中存在3轮调度当且仅当原图可3-着色。
• 证明了来自距离超过n²的传输的干扰可忽略不计，对任意接收机的干扰贡献为o(1/n)。
• 该证明依赖于精心设计的功率分配策略——内部传输使用功率1，边界传输使用功率2，以确保SINR阈值得以满足。
• 该结果对集中式与分布式算法均成立，因为构造过程与算法模型无关。