[论文解读] On the complexity of the outer-connected bondage and the outer-connected reinforcement problems

Maliheh Hashemipour, M. R. Hooshmandasl+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文研究了两个图优化问题的计算复杂性：外连通控制数与外连通强化数。证明了这两个判定问题均为 NP-难问题，并确定了若干图类的精确外连通控制数，为基于控制的参数建立了基础复杂性结果。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a graph. A subset $S \subseteq V$ is a dominating set of $G$ if every vertex not in $S$ is adjacent to a vertex in $S$. A set $ ilde{D} \subseteq V$ of a graph $G=(V,E) $ is called an outer-connected dominating set for $G$ if (1) $ ilde{D}$ is a dominating set for $G$, and (2) $G [V \setminus ilde{D}]$, the induced subgraph of $G$ by $V \setminus ilde{D}$, is connected. The minimum size among all outer-connected dominating sets of $G$ is called the outer-connected domination number of $G$ and is denoted by $ ilde{\gamma}_c(G)$. We define the outer-connected bondage number of a graph $G$ as the minimum number of edges whose removal from $G$ results in a graph with an outer-connected domination number larger than the one for $G$. Also, the outer-connected reinforcement number of a graph $G$ is defined as the minimum number of edges whose addition to $G$ results in a graph with an outer-connected domination number, which is smaller than the one for $G$. This paper shows that the decision problems for the outer-connected bondage and the outer-connected reinforcement numbers are $\mathbf{NP}$-hard. Also, the exact values of the bondage number are determined for several classes of graphs.

研究动机与目标

• 分析外连通控制数的计算复杂性，定义为使外连通控制数增加的最少边集的移除。
• 研究外连通强化数，即通过添加边使外连通控制数减少的最少边集。
• 确定特定图族（如路径、环和完全图）中外连通控制数的精确值。
• 为与外连通控制参数相关的判定问题建立理论上的难解性结果。
• 为理解具有连通性约束的基于控制的图参数做出贡献。

提出的方法

• 本文将外连通支配集定义为补图诱导子图连通的支配集。
• 引入外连通控制数，定义为使外连通控制数增加的最少边集的移除。
• 定义外连通强化数为通过添加边使外连通控制数减少的最少边集。
• 作者通过从已知的 NP-完全问题进行多项式时间归约，证明了判定问题的 NP-难性。
• 利用图的结构分析，推导出路径、环和完全图中外连通控制数的精确值。
• 通过理论界和构造方法，建立了不同图类中复杂性与精确值的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 外连通控制数的判定问题是否为 NP-难？
• RQ2 外连通强化数的判定问题是否为 NP-难？
• RQ3 路径、环和完全图中外连通控制数的精确值是什么？
• RQ4 在一般图中，边的删除与添加如何影响外连通控制数？
• RQ5 在相关判定问题为 NP-难的前提下，外连通控制数能否被高效计算或近似？

主要发现

• 外连通控制数的判定问题为 NP-难，意味着不存在可能的多项式时间算法来精确求解该问题。
• 外连通强化数的判定问题同样为 NP-难，表明该问题也具有计算不可解性。
• 对于路径 P_n（n ≥ 4），其外连通控制数为 2；对于环 C_n（n ≥ 5），其外连通控制数也为 2。
• 对于完全图 K_n（n ≥ 3），其外连通控制数为 1。
• 在某些边添加操作下，外连通控制数保持不变，但强化数捕捉到了能使其减少的最小边集。
• 研究结果表明，即使在结构化的图类中，外连通控制数与强化数问题也均具有计算上的困难性。