[论文解读] On the composition and decomposition of positive linear operators III: A non-trivial decomposition of the Bernstein operator

Heiner Gonska, Margareta Heilmann+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文提出了一种类伯恩斯坦算子 $B_n$ 的非平凡分解：$B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$，其中 $\bar{\mathbb{B}}_n$ 为真实贝塔算子，$F_n$ 为具有有趣谱性质和矩性质的非正线性算子。关键贡献在于通过逆贝塔算子和勒让德多项式显式表示了 $F_n$，并给出了一个类 Voronovskaya 的渐近公式，以及与 Cooper-Waldron 猜想的联系。

ABSTRACT

The central problem in this technical report is the question if the classical Bernstein operator can be decomposed into nontrivial building blocks where one of the factors is the genuine Beta operator introduced by Mühlbach and Lupaş. We collect several properties of the Beta operator such as injectivity, the eigenstructure and the images of the monomials under its inverse. Moreover, we give a decomposition of the form $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n $ where $F_n$ is a nonpositive linear operator having quite interesting properties. We study the images of the monomials under $F_n$, its moments and various representations. Also an asymptotic formula of Voronovskaya type for polynomials is given and a connection with a conjecture of Cooper and Waldron is established. In an appendix numerous examples illustrate the approximation behaviour of $F_n$ in comparison to $B_n$.

研究动机与目标

• 研究经典伯恩斯坦算子 $B_n$ 是否可以分解为非平凡的正线性算子的复合。
• 探讨是否可以将 $B_n$ 表示为复合形式 $\bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$，其中 $\bar{\mathbb{B}}_n$ 为真实贝塔算子。
• 刻画满足 $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$ 的算子 $F_n$，尽管 $F_n$ 并非正算子。
• 分析真实贝塔算子 $\bar{\mathbb{B}}_n$ 的特征结构、矩性质及逆性质。
• 建立 $F_n$ 渐近行为与关于逼近算子相关泛函的 Cooper-Waldron 猜想之间的联系。

提出的方法

• 通过涉及 $\widetilde{D}^{2l}$ 的求和定义的微分算子 $U_n$ 的逆，构造分解 $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$，该算子作用于单项式与特征多项式。
• 将算子 $F_n$ 显式表示为 $F_n f = \sum_{k=0}^n \nu_k^{(n)}(B_n f) p_k$，其中 $p_k$ 为 $U_n$ 的特征多项式，$\nu_k^{(n)}$ 为由与勒让德多项式内积导出的线性泛函。
• 算子 $U_n$ 的特征多项式为 $p_k(x) = D^{k-2}[x^{k-1}(1-x)^{k-1}]$（$k \geq 2$），对应特征值为 $\omega_k^{(n)} = \frac{(n-1)!n!}{(n-k)!(n+k-1)!}$。
• 通过公式 $U_n^{-1}p = \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l \frac{(n-1-l)!}{l!(n-1)!} \widetilde{D}^{2l}p$ 表达 $U_n$ 的逆，从而实现 $F_n = U_n^{-1} B_n^2$ 的构造。
• 通过关系式 $\int_0^1 b_{n-2,k-1}(t) \varphi_{n,i}(t) dt = \frac{1}{n-1} b_{n,i}(k/n)$ 分析 $F_n$ 的矩性质，其中 $\varphi_{n,i}$ 为 $F_n$ 的基函数。
• 通过证明当 $n \to \infty$ 时 $\nu_k^{(n)}(f) \to \int_0^1 (f(t) - Lf(t)) J_{k-2}(t) dt$ 来研究渐近行为，其中 $Lf(x) = (1-x)f(0) + x f(1)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典伯恩斯坦算子 $B_n$ 是否可以非平凡地分解为真实贝塔算子 $\bar{\mathbb{B}}_n$ 与另一算子 $F_n$ 的复合？
• RQ2 满足 $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$ 的非正算子 $F_n$ 的谱性质与矩性质为何？
• RQ3 与 $F_n$ 相关的泛函 $\nu_k^{(n)}$ 在 $n \to \infty$ 时的渐近行为如何？
• RQ4 是否存在 $F_n$ 的渐近行为与逼近泛函的 Cooper-Waldron 猜想之间的联系？
• RQ5 如何用勒让德多项式与逆微分算子显式表示 $F_n$？

主要发现

• 伯恩斯坦算子可非平凡地分解为 $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$，其中 $F_n$ 为非正线性算子，确立了 $B_n$ 的新颖因式分解。
• 微分算子 $U_n$ 的逆被显式给出为 $U_n^{-1}p = \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l \frac{(n-1-l)!}{l!(n-1)!} \widetilde{D}^{2l}p$，从而可构造出 $F_n = U_n^{-1} B_n^2$。
• $U_n$ 的特征多项式为 $p_k(x) = D^{k-2}[x^{k-1}(1-x)^{k-1}]$（$k \geq 2$），特征值为 $\omega_k^{(n)} = \frac{(n-1)!n!}{(n-k)!(n+k-1)!}$，且这些多项式与算子 $\widetilde{D}^{2l}$ 共享特征结构。
• 泛函 $\nu_k^{(n)}$ 被显式刻画为：$\nu_0^{(n)}(f) = f(0)$，$\nu_1^{(n)}(f) = f(1) - f(0)$，且对 $k \geq 2$，有 $\nu_k^{(n)}(f) = (\omega_k^{(n)})^{-1} \int_0^1 (B_n f(t) - Lf(t)) J_{k-2}(t) dt$。
• 当 $n \to \infty$ 时，$\nu_k^{(n)}(f) \to \int_0^1 (f(t) - Lf(t)) J_{k-2}(t) dt$，证实其收敛于 Cooper-Waldron 猜想中的泛函。
• 对 $F_n f(x)$ 的渐近公式为 $F_n f(x) = Lf(x) + \sum_{k=2}^n x(1-x) J_{k-2}(x) \frac{(n-k)!(n+k-1)!}{(n-1)!n!} \int_0^1 (B_n^2 f(t) - Lf(t)) J_{k-2}(t) dt$，且在点态收敛意义下趋于包含 $f(t) - Lf(t)$ 的极限形式。