[论文解读] On the computation of Galois representations associated to level one modular forms

Johan Bosman|ArXiv.org|Oct 5, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用 15

一句话总结

本文计算了权至22、素数水平ℓ ≤ 23的主形式模µ的射影伽罗瓦表示，通过显式多项式呈现，其分裂域实现射影像PGL₂(Fℓ)。主要贡献是将拉马努金τ(n)非零性之莱默猜想的验证范围扩展至n < 2.28 × 10¹⁹，显著优于先前的界限。

ABSTRACT

In this paper we explicitly compute mod-l Galois representations associated to modular forms. To be precise, we look at cases with l&lt;=23 and the modular forms considered will be cusp forms of level 1 and weight up to 22. We present the result in terms of polynomials associated to the projectivised representations. As an application, we will improve a known result on Lehmer's non-vanishing conjecture for Ramanujan's tau function.

研究动机与目标

• 计算权k ≤ 22、素数ℓ ≤ 23的主形式Δk对应的显式多项式，表示其射影伽罗瓦表示。
• 通过计算方法将莱默猜想中τ(n)非零性的验证范围超越先前界限。
• 通过构造分裂域与射影像PGL₂(Fℓ)一致的多项式，为塞尔的模性猜想提供计算证据。
• 通过在雅可比簇J₁(ℓ)中的计算方法处理非例外表示，特别是ℓ = 23的情形。

提出的方法

• 作者通过确定多项式P_{k,ℓ}，其分裂域对应于ker~ρ_{Δk,ℓ}的固定域，从而计算与权1、权k的尖点形式Δk相关的射影伽罗瓦表示~ρ_{Δk,ℓ}。
• 利用计算代数系统构造多项式P_{k,ℓ}，其分裂域实现像PGL₂(Fℓ)。
• 为验证，方法检查P_{k,ℓ}在F_p上是否具有次数为2的不可约因子，这对应于迹为τ_k(p) mod ℓ的弗罗贝尼乌斯元素。
• 应用塞尔的模性判别准则，识别满足τ_k(p) ≡ 0 mod ℓ的素数p，并利用这些素数扩展τ(n)非零性的界限。
• 对于ℓ = k - 1的例外情形，表示作为椭圆曲线的ℓ torsion实现，利用除法多项式验证其结构。
• 计算依赖于实验性搜索与数域及有限域算术的验证，特别是检查在F_p[x]/(P_{k,ℓ})中是否满足x^{p²} ≡ x且x^p ≢ x。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于权k ≤ 22、ℓ ≤ 23的主形式，其射影伽罗瓦表示的分裂域由哪些显式多项式实现？
• RQ2 如何利用这些伽罗瓦表示将拉马努金τ(n)非零性的验证范围超越先前的计算界限？
• RQ3 哪些素数p满足τ(p) ≡ 0 mod 11·13·17·19，且与ℓ-adic表示的塞尔模性准则一致？
• RQ4 在多大程度上可通过显式多项式将ρ_{Δk,ℓ}的射影像实现为PGL₂(Fℓ)？
• RQ5 是否可利用J₁(ℓ)中的计算方法，特别是ℓ = 23的情形，构造并验证这些伽罗瓦表示？

主要发现

• 本文为所有满足k ∈ {12,16,18,20,22}且ℓ ≤ 23的(k,ℓ)对，提供了度数为ℓ + 1的显式多项式P_{k,ℓ}，其分裂域实现射影像PGL₂(Fℓ)。
• τ(n)的非零性在所有n < 22,798,241,520,242,687,999 ≈ 2.28 × 10¹⁹范围内得到验证，优于先前2 × 10¹⁶的界限。
• 满足塞尔准则与τ(p) ≡ 0 mod 11·13·17·19的最小素数为22,798,241,520,242,687,999、60,707,199,950,936,063,999与93,433,753,964,906,495,999，证实了界限的扩展。
• 当ℓ = 23时，雅可比簇J₁(23)的维数为12，该方法成功通过多项式不变量计算了相关伽罗瓦表示。
• 该方法确认射影表示~ρ_{Δk,ℓ}是不可约的，且其像为PGL₂(Fℓ)，符合塞尔猜想的要求。
• 所有k ∈ {12,16,18,20,22}与ℓ ≤ 23的多项式P_{k,ℓ}均已显式列出，为后续研究模-ℓ伽罗瓦表示提供了计算工具。