[论文解读] On the Computation of $\pi$-Flat Outputs for Linear Time-Delay Systems

Vincent Morio, Franck Cazaurang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2009

Numerical methods for differential equations参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于多项式矩阵代数的构造性算法，用于在时变时滞系统中线性时间计算π-平坦输出。通过将系统环扩展至𝕂(δ)[d/dt]并应用Smith-Jacobson分解，该文通过系统矩阵的超正则性表征π-平坦性，从而通过幺模变换和矩阵对角化实现平坦输出的系统化计算。

ABSTRACT

This paper deals with linear time-varying, delay systems. Extensions of the concept of differential flatness \\cite{Fliess_95} to this context have been first proposed in \\cite{Mounier_95,Fliess_96} (see also \\cite{Rudolph_03,Chyzak_05}), by the introduction of $\\pi$-flat output. Roughly speaking, it means that every system variable may be expressed as a function of a particular output $y$, a finite number of its time derivatives, time delays, and predictions, the latter resulting from the prediction operator $\\pi^{-1}$. We propose a simple and constructive algorithm for the computation of $\\pi$-flat outputs based on concepts of polynomial algebra, in particular Smith-Jacobson decomposition of polynomial matrices. Some examples are provided to illustrate the proposed methodology.

研究动机与目标

• 为时变时滞线性系统提供π-平坦性的构造性表征。
• 基于代数矩阵分解开发一种计算π-平坦输出的算法。
• 将现有平坦性理论扩展至具有时滞和亚纯时变系数的系统。
• 通过标准计算机代数工具实现平坦输出的实际计算。

提出的方法

• 系统建模为Ax = Bu，其中系数属于环𝕂[δ, d/dt]，δ为时滞算子，d/dt为时间导数。
• 将环扩展至𝕂(δ)[d/dt]，即一个主理想环，以支持Smith-Jacobson分解的应用。
• Smith-Jacobson分解将系统矩阵对角化为具有不变因子的形式，从而识别自由模。
• 使用幺模变换将系统约化为保持模结构的典范形式。
• 通过在多项式π ∈ 𝕂[δ]的幂次处局部化结果，确保预测和时滞的适定性。
• 将平坦输出构造为由系统变量生成的自由模的基，该基源自对角化后的矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对具有时变系数的时变时滞线性系统中的π-平坦性进行代数表征？
• RQ2 系统矩阵需满足何种条件才能保证π-平坦输出的存在？
• RQ3 如何利用标准代数工具构造性地计算π-平坦输出？
• RQ4 Smith-Jacobson分解在π-平坦输出计算中起到何种作用？
• RQ5 扩展至域𝕂(δ)如何实现平坦输出的有效计算？

主要发现

• π-平坦性由扩展环𝕂(δ)[d/dt]中系统矩阵的超正则性表征。
• 所提出的算法通过源自Smith-Jacobson分解的幺模变换序列计算π-平坦输出。
• 该方法适用于具有亚纯时变系数的系统，扩展了以往仅限于多项式或常系数结果的范围。
• 平坦输出的计算仅依赖于在较大环𝕂(δ)[d/dt]上的运算，避免了复杂的Gröbner基技术。
• 该方法可显式地以平坦输出及其时间导数和时滞参数化所有系统变量。
• 该方法可推广至具有多个时滞的系统，如振动弦模型所示。