[论文解读] On the computation of Ratliff-Rush closure

Juan Elías|ArXiv.org|Feb 20, 2003

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出了一种算法程序，用于在科恩-麦克aul伊局部环中计算 𝔪-主理想关于正则数和正则序列的Ratliff-Rush闭包。通过利用Poincaré级数和约化理论，该方法将计算简化为有限个列理想，其关键结果为：当 $k$ 大于等于理想及其关于正则序列的商的理想之正则数时，Ratliff-Rush闭包等于 $(I^{k+1} : (x_1^k, \dots, x_d^k))$。

ABSTRACT

Let $R$ be a Cohen-Macaulay local ring with maximal ideal $\max$. In this paper we present a procedure for computing the Ratllif-Rush closure of a $\max-$primary ideal $I \subset R$.

研究动机与目标

• 开发一种在科恩-麦克aul伊局部环中计算 𝔪-主理想Ratliff-Rush闭包的构造性算法。
• 通过正则数和最小约化，将Ratliff-Rush闭包的计算减少为有限个列运算。
• 利用Poincaré级数和消去技术提供显式计算程序，可通过CoCoA实现。
• 通过提供计算具有相同Hilbert系数的最大理想的系统化方法，扩展已知的系数理想结果。

提出的方法

• 计算理想 $I$ 的Poincaré级数，以确定其维数 $e_0(I)$ 和正则数 $pn(I)$。
• 在 $I/\mathfrak{m}I$ 中选取 $d$ 个一般元素 $x_1, \dots, x_d$，使得 $\ell(R/(x_1,\dots,x_d)) = e_0(I)$，确保它们构成一个正则序列。
• 计算商的理想 $I/(x_i)$ 的Poincaré级数，以确定 $pn(I/(x_i))$，从而计算 $pn(I; x_1, \dots, x_d)$。
• 应用定理2.1(i)：当 $k \geq pn(I; x_1, \dots, x_d) + 1$ 时，Ratliff-Rush闭包由 $\tilde{I} = (I^{k+1} : (x_1^k, \dots, x_d^k))$ 给出。
• 当 $I$ 为单项式理想时，使用消去技术和无需Gröbner基的方法，以避免昂贵的计算。
• 利用Castelnuovo-Mumford正则性界 $f(e_0(I), d)$ 建立约化数的统一上界，从而可通过 $\tilde{I} = (I^{k+1} : I^k)$ 对足够大的 $k$ 实现替代计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在科恩-麦克aul伊局部环中，通过算法方式计算 𝔪-主理想的Ratliff-Rush闭包？
• RQ2 对于正则序列 $x_1, \dots, x_d$，使得 $\tilde{I} = (I^{k+1} : (x_1^k, \dots, x_d^k))$ 成立的最小 $k$ 是多少？
• RQ3 能否利用理想 $I$ 及其商的理想 $I/(x_i)$ 的正则数来界定Ratliff-Rush闭包的计算？
• RQ4 Ratliff-Rush闭包与理想及其约化的Hilbert系数之间存在何种关系？
• RQ5 计算代数系统（如CoCoA）如何用于实现具体例子的算法？

主要发现

• 对于 𝔪-主理想 $I$，当 $k \geq pn(I; x_1, \dots, x_d) + 1$ 时，Ratliff-Rush闭包等于 $(I^{k+1} : (x_1^k, \dots, x_d^k))$，其中 $x_1, \dots, x_d$ 是一个正则序列。
• 在例2.4中，理想 $I = (x^{10}, y^5, xy^4, x^8y)$ 的Ratliff-Rush闭包被计算为 $(x^{10}, y^5, xy^4, x^7y^2, x^6y^3, x^8y)$，表明 $I \subsetneq \tilde{I}$。
• 在例2.6中，$I = \tilde{I}$，但 $\widetilde{I^2} = I^2 + (x^{24}y^{20}, x^{20}y^{24})$，表明幂的理想闭包是非平凡的。
• 在例2.7中，$I = (x^8, x^3y^2, x^2y^4, y^8)$ 满足 $I = \tilde{I}$，但第一个系数理想 $I_{[1]}$ 严格包含 $I$，其中 $I_{[1]} = (x^8, x^3y^2, x^2y^4, xy^6, y^8)$。
• 正则数 $pn(I; x_1, \dots, x_d)$ 可从 $I$ 和 $I/(x_i)$ 的Poincaré级数中计算得出，并确定了列公式成立的最小 $k$。
• Castelnuovo-Mumford正则性界 $f(e_0(I), d)$ 提供了约化数的统一上界，从而允许使用替代公式 $\tilde{I} = (I^{k+1} : I^k)$，其中 $k \geq f(e_0(I), d) + 2$。