[论文解读] On the Concentration of the Domination Number of the Random Graph

Roman Glebov, Anita Liebenau+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 6

一句话总结

该论文证明了对于边概率满足 p ≫ ln²n/√n 的 Erdős-Rényi 随机图 𝒢(n,p)，支配数几乎必然集中在两个连续整数上，具体为 ⌊r̂⌋+1 和 ⌊r̂⌋+2，其中 r̂ 是支配集第一矩阈值导出的值。该结果扩展了 Wieland 和 Godbole 的先前工作，精确界定了集中发生的阈值，并同时表明在较小的 p 值下不具集中性，凸显了 p 下限的必要性。

ABSTRACT

In this paper we study the behaviour of the domination number of the Erdős-Rényi random graph $\mathcal{G}(n,p)$. Extending a result of Wieland and Godbole we show that the domination number of $\mathcal{G}(n,p)$ is equal to one of two values asymptotically almost surely whenever $p \gg \frac{\ln^2n}{\sqrt{n}}$. The explicit values are exactly at the first moment threshold, that is where the expected number of dominating sets starts to tend to infinity. For small $p$ we also provide various non-concentration results which indicate why some sort of lower bound on the probability $p$ is necessary in our first theorem. Concentration, though not on a constant length interval, is proven for every $p\gg 1/n$. These results show that unlike in the case of $p \gg \frac{\ln^2n}{\sqrt{n}}$ where concentration of the domination number happens around the first moment threshold, for $p = O(\ln n/n)$ it does so around the median. In particular, in this range the two are far apart from each other.

研究动机与目标

• 将 Wieland 和 Godbole 关于 𝒢(n,p) 支配数的两点集中结果推广至更广泛的边概率 p 范围。
• 确定支配数几乎必然集中在两个连续整数上的精确阈值 p。
• 研究为何 p 需要有下界才能实现此类集中性，特别是当 p 过小时的情况。
• 分析当 p = O(ln n / n) 时支配数的行为，表明其集中在中位数附近而非首次矩阈值附近。
• 为 p ≪ ln²n/√n 的情形建立非集中性结果，表明该下界在多对数因子意义下是紧的。

提出的方法

• 推导 r̂(n,p) 为首次矩阈值，即大小为 r̂ 的支配集的期望数量从趋于零转变为无穷大的临界点。
• 使用一阶与二阶矩方法，控制大小为 r̂ 的支配集存在的概率，从而实现对两个值的集中性分析。
• 应用基于熵的二项式系数界与对数近似，以控制支配集的期望数量。
• 分析二项熵函数 H(x) 及其与存活概率 (1 - (1-p)^k) 的相互作用，以界定大小为 k 的支配集的期望数量。
• 利用渐近展开与 o(1) 误差项，细化集中区间的长度，尤其针对 p ≫ ln ln n / √n 的情形。
• 通过证明在小 p 情况下，支配集的期望数量在宽区间内保持较大，从而无法集中在任意常数长度区间，来建立非集中性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 p 范围内，𝒢(n,p) 的支配数几乎必然集中在两个连续整数上？
• RQ2 支配集大小为 r̂ 时，其期望数量首次趋于无穷大的精确阈值 p 是什么？该阈值与集中性有何关联？
• RQ3 为何 p 需要有下界才能实现两点集中？当 p 过小时会发生什么？
• RQ4 当 p = O(ln n / n) 时，支配数的集中行为如何变化？特别是其与中位数和首次矩阈值的关系如何？
• RQ5 能否证明当 p ≪ ln²n/√n 时存在非集中性？该下界 p ≫ ln²n/√n 是否在多对数因子意义下为紧？

主要发现

• 当 p ≫ ln²n/√n 时，支配数 D(G) 几乎必然等于 ⌊r̂⌋+1 或 ⌊r̂⌋+2，其中 r̂ = log_q(n ln q / ln²d (1+o(1)))。
• r̂ 为首次矩阈值，标志着大小为 r̂ 的支配集的期望数量开始趋于无穷大的临界点。
• 当 p = Θ(1/n) 时，支配数不集中在任何常数长度区间，但集中在大小为 √n f(n) 的区间内，其中 f(n) → ∞。
• 当 p ≪ ln²n/√n 时，支配数不集中在 r̂ 附近的任意常数长度区间，表明该下界在多对数因子意义下是紧的。
• 当 p = O(ln n / n) 时，集中性围绕中位数发生，而非首次矩阈值，且这两个值相距甚远。
• 论文证明：当 p ≥ c/n 且 c > 0 时，大小为 k 的支配集的期望数量有界于 2^{f(c_k)n}，其中 f(x) 为具有唯一正最大值的函数，表明当 f(x) 不呈尖峰分布时，存在非集中性。