[论文解读] On the concordance orders of knots

Julia Collins|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 3

一句话总结

本论文利用扭曲亚历山大多项式与二阶不变量的计算技术，确定了拓扑同痕群 𝒞 中纽结的同痕阶。论文建立了检测无限阶的准则，并计算了325个12个交叉以下的素纽结中除两个外的所有纽结的阶，完成了9个交叉素纽结的完整分类，并证明了当 n ≠ 0,2 时，单位圆的 n-扭双倍纽结不是可slice的。

ABSTRACT

This thesis develops some general calculational techniques for finding the orders of knots in the topological concordance group C. The techniques currently available in the literature are either too theoretical, applying to only a small number of knots, or are designed to only deal with a specific knot. The thesis builds on the results of Herald, Kirk and Livingston [HKL10] and Tamulis [Tam02] to give a series of criteria, using twisted Alexander polynomials, for determining whether a knot is of infinite order in C. There are two immediate applications of these theorems. The first is to give the structure of the subgroups of the concordance group C and the algebraic concordance group G generated by the prime knots of 9 or fewer crossings. This should be of practical value to the knot-theoretic community, but more importantly it provides interesting examples of phenomena both in the algebraic and geometric concordance groups. The second application is to find the concordance orders of all prime knots with up to 12 crossings. At the time of writing of this thesis, there are 325 such knots listed as having unknown concordance order. The thesis includes the computation of the orders of all except two of these. In addition to using twisted Alexander polynomials to determine the concordance order of a knot, a theorem of Cochran, Orr and Teichner [COT03] is applied to prove that the n-twisted doubles of the unknot are not slice for n not 0 or 2. This technique involves analysing the `second-order' invariants of a knot; that is, slice invariants (in this case, signatures) of a set of metabolising curves on a Seifert surface for the knot. The thesis extends the result to provide a set of criteria for the n-twisted double of a general knot K to be slice; that is, of order 0 in C.

研究动机与目标

• 开发适用于拓扑同痕群 𝒞 中纽结同痕阶的通用、可计算的判定准则。
• 对9个交叉或更少交叉的所有素纽结的代数同痕类与几何同痕类进行分类。
• 确定所有至多12个交叉的素纽结的同痕阶，解决大部分先前未知的情况。
• 将二阶可slice性障碍推广至任意纽结的 n-扭双倍，证明在单位圆情况下当 n ≠ 0,2 时其非可slice性。
• 提供一个适用于广泛纽结类别的实用计算框架，超越特定方法。

提出的方法

• 利用与可解表示相关的扭曲亚历山大多项式，检测同痕群中的无限阶元素。
• 应用卡森-戈登不变量与塞伊夫特曲面上消去曲线的二阶签名，以阻碍可slice性。
• 采用Witt群不变量及在 ℝ 和 ℚₚ 上的局部不变量，分析代数同痕类。
• 结合计算代数与拓扑构造（包括slice电影），验证特定纽结的阶为2。
• 利用双分支覆盖的首同调群 H₁(Σ₂; ℤ) 与配对形式计算不变量。
• 应用科奇安、奥尔与泰赫纳关于二阶不变量的定理，分析纽结的 n-扭双倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拓扑同痕群中，哪些纽结具有无限阶，如何实现算法化检测？
• RQ2 所有9个交叉或更少交叉的素纽结的完整同痕分类是什么？
• RQ3 对于哪些 n 值，单位圆的 n-扭双倍是可slice的，哪些不变量可检测非可slice性？
• RQ4 能否利用二阶不变量确定一般纽结的 n-扭双倍的同痕阶？
• RQ5 325个至多12个交叉的素纽结中，每个纽结的同痕阶是什么，尚有多少未解决？

主要发现

• 本论文计算了325个至多12个交叉的素纽结中除两个外的所有纽结的同痕阶，解决了绝大多数先前未知的情况。
• 它提供了同痕群 𝒞 与由9个交叉或更少交叉素纽结生成的代数同痕群 𝒢 的子群的完整分类。
• 证明了单位圆的 n-扭双倍在 n ≠ 0,2 时非可slice，使用了二阶签名障碍。
• 将二阶可slice性障碍推广至任意纽结 K 的 n-扭双倍，给出了此类纽结在 𝒞 中阶为0的判定准则。
• 为如 11a₅ 和 4₁ 等纽结构造了显式的 slice 电影，通过鞍点移动产生无链的单位圆与阶为2的纽结，确认其阶为2。
• 识别出特定纽结如 9₈、9₂₃ 与 9₃₂，其扭曲亚历山大多项式非可slice，配对形式非完全平方，确认其阶为无限。