[论文解读] On the condensation property of the Lamplighter groups and groups of Intermediate growth

Mustafa Gökhan Benli̇, Rostislav Grigorchuk|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过构造一个标记2-生成群空间 $\mathcal{M}_2$ 中的Cantor子集 $\mathcal{L} \subset \mathcal{M}_2$，证明了Lamplighter群 $L = \mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ 是一个凝聚群，其中绝大多数群具有中间增长。通过其最小表示和嵌入到与Cantor集同胚的完美核中，证明了群 $L$ 是凝聚群。

ABSTRACT

The aim of this short note is to revisit some old results about groups of intermediate growth and groups of the lamplighter type and to show that the Lamplighter group $L=\mathbb{Z}_2\wr \mathbb{Z}$ is a condensation group and has a minimal presentation by generators and relators. The condensation property is achieved by showing that $L$ belongs to a Cantor subset of the space $\mathcal{M}_2$ of marked 2-generated groups consisting mostly of groups of intermediate growth.

研究动机与目标

• 证明Lamplighter群 $L = \mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ 属于标记2-生成群空间 $\mathcal{M}_2$ 的凝聚部分。
• 构造一个不可数的完美子集 $\mathcal{L} \subset \mathcal{M}_2$，其与Cantor集同胚，其中所有群均具有中间增长，且对常数序列同构于 $L$。
• 证明 $L$ 允许一个最小的无限表示，从而通过拓扑与代数标准确认其凝聚性质。
• 通过证明无限有限生成群的受限Wreath积是凝聚群，扩展了已知的凝聚群结果，其中 $L$ 是一个关键例子。

提出的方法

• 通过根树的自同构，构造一个以无限序列 $\omega \in \{0,1,2\}^\mathbb{N}$ 为指标的标记群族 $\{(L_\omega, T_\omega) \mid \omega \in \Omega\}$。
• 将空间 $\mathcal{M}_2$ 定义为标记2-生成群的紧致、完全不连通空间，其超度量拓扑基于Cayley图中球的同构性。
• 通过证明映射 $\omega \mapsto (L_\omega, T_\omega)$ 是定义在紧致定义域上的连续双射，证明子集 $\mathcal{L}$ 同胚于Cantor空间 $\Omega$。
• 利用具有无限最小表示的群属于完美核 $\kappa(\mathcal{M}_k)$ 的事实，从而确认其为凝聚群。
• 应用 [Bau61] 和 [Cor11] 的结果，证明 $L$ 不是有限生成的，但具有最小的无限表示。
• 使用圆积构造通过反证法验证标准表示 $\langle s,t \mid s^2, [s,s^{t^i}] \text{ for } i \geq 1 \rangle$ 的最小性，表明无关系可由其余关系导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lamplighter群 $L = \mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ 是否属于 $\mathcal{M}_2$ 的凝聚部分？
• RQ2 能否构造一个 $\mathcal{M}_2$ 的Cantor子集，使得其中所有群均具有中间增长，并将 $L$ 作为特例包含在内？
• RQ3 标准无限表示 $L$ 是否最小？其最小性是否意味着其凝聚性质？
• RQ4 无限有限生成群的受限Wreath积 $H \wr G$ 是否总是凝聚群？
• RQ5 最小表示与标记群空间中凝聚性质之间的关系是什么？

主要发现

• Lamplighter群 $L = \mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ 是凝聚群，因为它位于完美核 $\kappa(\mathcal{M}_2)$ 中。
• 构造了一个Cantor子集 $\mathcal{L} \subset \mathcal{M}_2$，使得 $\mathcal{L} \cong \Omega = \{0,1,2\}^\mathbb{N}$，且 $\mathcal{L}$ 中所有群均为凝聚群。
• 对非最终常数的 $\omega$，群 $L_\omega$ 具有中间增长；对常数 $\omega$，有 $L_\omega \cong L$。
• 群 $L$ 的标准表示 $\langle s,t \mid s^2, [s,s^{t^i}] \text{ for } i \geq 1 \rangle$ 是最小的，因为无任何关系可由其余关系导出。
• 该表示的最小性意味着 $L$ 位于 $\mathcal{M}_2$ 的凝聚部分，从而为 $L$ 的凝聚性质提供了另一种证明。
• 该构造通过拓扑嵌入到完美核中，确认了 $L$ 是凝聚群，并扩展了关于无限群的Wreath积总是凝聚群的已知结果。