[论文解读] On the Configuration Spaces of Homogeneous Loop Quantum Cosmology and Loop Quantum Gravity

Johannes Brunnemann, Christian Fleischhack|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用 27

一句话总结

本文表明，同质各向同性圈量子宇宙学（LQC）的配置空间无法连续地嵌入到圈量子引力（LQG）的配置空间中，因为LQC中沿非直线路径的平行移动在宇宙学参数$c$上不是几乎周期性的，这违反了此类嵌入的关键要求。该结果在各向同性和各向异性情况下均成立，表明只有依赖于背景度规的直线路径才能提供所需的几乎周期性。

ABSTRACT

The set of homogeneous isotropic connections, as used in loop quantum cosmology, forms a line $l$ in the space of all connections $\cal A$. This embedding, however, does not continuously extend to an embedding of the configuration space $\overline l$ of homogeneous isotropic loop quantum cosmology into that of loop quantum gravity, $\overline{\cal A}$. This follows from the fact that the parallel transports for general, non-straight paths in the base manifold do not depend almost periodically on $l$. Analogous results are given for the anisotropic case.

研究动机与目标

• 研究圈量子宇宙学（LQC）的配置空间是否可以连续地嵌入到圈量子引力（LQG）的配置空间中。
• 确定LQC中平行移动在宇宙学参数$c$上为几乎周期性的条件。
• 阐明背景依赖结构（如直线路径）在LQC作为LQG的对称性约化模型构建中的作用。
• 将分析从各向同性情形扩展到各向异性宇宙学模型。

提出的方法

• 推导出在$\mathbb{R}^3$中具有$SU(2)$-取值联络的任意解析曲线上平行移动矩阵的二阶常微分方程（ODE）。
• 为这些ODE引入一个广义能量不变量$\mathcal{E}$，其在一般情况下仅保留至$\mathcal{O}(1/c)$，而仅在几乎周期性情况下完全守恒。
• 利用$\mathcal{E}$的解析性和完全不变性，证明平行移动的几乎周期性意味着曲线必为直线。
• 分析平行移动对宇宙学参数$c$的依赖性，并证明非直线路径会破坏几乎周期性。
• 应用几乎周期函数理论，证明非几乎周期函数无法从$\mathbb{R}$连续延拓到其Bohr紧化$\overline{\mathbb{R}}_{\mathrm{Bohr}}$。
• 通过考虑$\mathbb{R}^3$-取值参数，将各向同性结果推广至各向异性情形，并证明相同的障碍依然存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 同质各向同性LQC的配置空间能否连续地嵌入到LQG的配置空间中？
• RQ2 LQC中沿非直线路径的平行移动在宇宙学参数$c$上是否为几乎周期性？
• RQ3 使平行移动在$c$上为几乎周期性的路径需要满足何种几何条件？
• RQ4 该嵌入失败在各向异性情况下是否依然存在？如果是，原因是什么？
• RQ5 几乎周期性要求是否对Bohr紧化连续延拓配置空间而言是本质性的？

主要发现

• 在$\mathbb{R}^3$中沿非直线解析曲线的平行移动即使在光滑且解析的情况下，也并非在宇宙学参数$c$上为几乎周期性。
• 广义能量不变量$\mathcal{E}$对于一般曲线仅保留至$\mathcal{O}(1/c)$，而仅对直线完全守恒。
• 平行移动的几乎周期性意味着其基础曲线必为直线，该结论通过$\mathcal{E}$的解析性与不变性得以证明。
• 对于各向同性LQC，映射$\mathbb{R} \to \mathcal{A}$无法连续延拓至$\overline{\mathbb{R}}_{\mathrm{Bohr}} \to \overline{\mathcal{A}}$，因为平行移动不满足几乎周期性。
• 该障碍同样存在于各向异性情形：映射$\mathbb{R}^3 \to \mathcal{A}$无法延拓至$\overline{\mathbb{R}}^3_{\mathrm{Bohr}} \to \overline{\mathcal{A}}$。
• 连续延拓的失败源于非直线路径上平行移动缺乏几乎周期性，而这是Bohr紧化能够起作用的必要条件。