[论文解读] On the congruence subgroup property for GGS-groups

Gustavo A. Fernández‐Alcober, Alejandra Garrido+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用 26

一句话总结

本文证明了所有具有非恒定定义向量的GGS-群均满足同余子群性质，提供了新的有限生成、剩余有限、非挠群的例子，其远域完备为一个pro-p群——回答了Barnea提出的问题。相比之下，具有恒定定义向量的GGS-群具有无限同余核，且不是分支群，其换位子群在定义向量满足特定条件时可为无挠群。

ABSTRACT

We show that all GGS-groups with non-constant defining vector satisfy the congruence subgroup property. This provides, for every odd prime $p$, many examples of finitely generated, residually finite, non-torsion groups whose profinite completion is a pro-$p$ group, and among them we find torsion-free groups. This answers a question of Barnea. On the other hand, we prove that the GGS-group with constant defining vector has an infinite congruence kernel and is not a branch group.

研究动机与目标

• 确定具有非恒定定义向量的GGS-群是否满足同余子群性质。
• 分析具有恒定定义向量的GGS-群的同余核及其群论结构。
• 回答Barnea关于存在无限、有限生成、剩余有限、非挠群且其远域完备为pro-p群的问题，以及此类群是否可为无挠群。
• 确定在何种条件下，GGS-群的换位子群为无挠群。

提出的方法

• 应用Bartholdi与Grigorchuk针对正则分支群的通用准则，证明非恒定GGS-群满足同余子群性质。
• 利用同构ψn: stG(n) → Aut T × pn 分析稳定子群与层级分量的结构。
• 为Fp^{p-1}中的向量定义性质TF，通过在Wreath积结构中的分量分析，确保换位子群的无挠性。
• 分析生成元a及其共轭bi = b^ai的作用，推导出h ∈ stG(1)时ψ(h)中分量乘积的条件。
• 使用与定义向量关联的循环矩阵C来计算分量指标(m1,…,mp)，并验证性质TF。
• 利用同余子群性质对有限指数子群具有遗传性的事实，将无挠性问题约化至换位子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有非恒定定义向量的GGS-群是否都满足同余子群性质？
• RQ2 具有恒定定义向量的GGS-群是否具有无限同余核？
• RQ3 具有恒定定义向量的GGS-群是否为分支群？
• RQ4 是否存在无限、有限生成、剩余有限、无挠群，其远域完备为pro-p群？
• RQ5 在何种条件下，GGS-群的换位子群为无挠群？

主要发现

• 所有具有非恒定定义向量的GGS-群均满足同余子群性质，此结论通过正则分支群的通用准则得到证明。
• 具有恒定定义向量（e = (1,…,1)）的GGS-群具有无限同余核，表明其远域完备与同余完备不同。
• 该GGS-群虽为弱分支群，但并非分支群，解决了其自相似性结构的一个结构性问题。
• 对于定义向量为e = (1,…,1,λ)且λ ≠ 1,2的GGS-群，其换位子群G′为无挠群，从而正面回答了Barnea的第二个问题。
• 当λ ≠ 1,2时，换位子群G′为无限、有限生成、剩余有限，且其远域完备为pro-p群。
• 向量e ∈ Fp^{p-1}满足性质TF，当且仅当对每个非零(i1,…,ip) ∈ Fp^p且满足∑ij = 0，存在j使得mjij ≠ 0，其中(m1,…,mp) = (i1,…,ip)C；若e满足TF，则G′为无挠群。