[论文解读] On the Connectedness of Moduli Spaces of Flat Connections over Compact Surfaces

Nan-Kuo Ho, Chiu-Chu Melissa Liu|ArXiv.org|Nov 25, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 6

一句话总结

该论文建立了紧致曲面上平联络 $G$-丛模空间的连通性性质，证明了对于一类紧致连通李群（包括半单群及某些非半单群），当曲面为可定向时模空间连通，而当曲面为 $k$ 个实射影平面的连通和（$k \neq 1,2,4$）时，模空间恰好有 $2^{\dim S}$ 个连通分支。该结果推广了对单连通群已知的定理，其关键依赖于紧致李群上交换子映射的满射性与纤维连通性。

ABSTRACT

We study the connectedness of the moduli space of gauge equivalence classes of flat G-connections on a compact orientable surface or a compact nonorientable surface for a class of compact connected Lie groups. This class includes all the compact, connected, simply connected Lie groups, and some non-semisimple classical groups including U(n) and Spin^C(n).

研究动机与目标

• 确定紧致曲面 $\Sigma$ 上平 $G$-联络的规范等价类模空间 $\mathcal{M}(\Sigma,G)$ 的连通性。
• 将已知的关于单连通紧致李群的连通性结果推广至更广泛的紧致连通李群类，包括非半单群。
• 分析非可定向曲面（特别是 $k$ 个 $\mathbb{RP}^2$ 的连通和）上 $\mathcal{M}(\Sigma,G)$ 的结构。
• 以 $G$ 的中心的单位连通分支的维数为基准，精确计算连通分支的数量。

提出的方法

• 利用同胚关系 $\mathcal{M}(\Sigma,G) \cong \mathrm{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G$，其中 $G$ 通过共轭作用。
• 应用紧致连通李群的结构定理：$G = G_{ss} \times S$，其中 $G_{ss}$ 为半单且单连通，$S$ 为其中心的单位连通分支。
• 利用事实 5：当 $G$ 单连通时，交换子映射 $\mu_G^\ell: G^{2\ell} \to G$ 是满射且纤维连通。
• 通过交换子映射的像以及中心 $S$ 对基本群关系的作用来分析模空间。
• 在 $G^{2\ell+2}$ 中利用路径提升与连通性论证，证明每个分量下关于矩映射的原像均连通。
• 定义商映射 $o: \mathcal{M}(\Sigma,G) \to K$，其中 $K \cong S/2S$，以对连通分支进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些紧致连通李群 $G$，在紧致可定向曲面 $\Sigma$ 上，平 $G$-联络的模空间 $\mathcal{M}(\Sigma,G)$ 是连通的？
• RQ2 当 $\Sigma$ 为 $k$ 个 $\mathbb{RP}^2$ 的连通和时，模空间 $\mathcal{M}(\Sigma,G)$ 有多少个连通分支？
• RQ3 中心 $Z(G)$，特别是其单位连通分支 $S$，在决定 $\mathcal{M}(\Sigma,G)$ 的连通分支数量中起什么作用？
• RQ4 交换子映射的纤维连通性是否可用于证明非可定向曲面上模空间的连通性？
• RQ5 当 $G = G_{ss} \times S$ 且 $G_{ss}$ 单连通时，该结构如何影响 $\mathcal{M}(\Sigma,G)$ 的拓扑？

主要发现

• 对于紧致连通李群 $G$，若其半单部分 $G_{ss}$ 单连通，则当 $\Sigma$ 为可定向曲面时，模空间 $\mathcal{M}(\Sigma,G)$ 非空且连通。
• 当 $\Sigma$ 同胚于 $k$ 个 $\mathbb{RP}^2$ 的连通和且 $k \neq 1,2,4$ 时，模空间 $\mathcal{M}(\Sigma,G)$ 恰好有 $2^{\dim S}$ 个连通分支。
• 连通分支的数量由商 $S/2S$ 决定，其中 $S$ 为 $G$ 的中心的单位连通分支，且 $2S = \{s^2 \mid s \in S\}$。
• 证明依赖于事实：对所有 $g \in G_{ss}$，纤维 $({\mu_G^\ell})^{-1}(g)$ 连通，此结果来自 Alekseev、Malkin 与 Meinrenken。
• 对于克莱因瓶和的情形（$2\ell+2$ 个 $\mathbb{RP}^2$），模空间有 $2^{\dim S}$ 个连通分支，通过矩映射原像的路径连通性证明。
• 该结果适用于 $U(n)$ 和 $\mathrm{Spin}^\mathbb{C}(n)$ 等群，它们满足 $G_{ss}$ 单连通且中心 $S$ 为环面的假设。