[论文解读] On the connection between uniqueness from samples and stability in Gabor phase retrieval

Rima Alaifari, Francesca Bartolucci+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2022

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用 2

一句话总结

本文证明了从采样Gabor相位恢复的唯一性与连续Gabor相位恢复问题中的稳定性之间不存在直接联系。通过构造在格点上破坏唯一性的反例，同时在连续设置中保持有界稳定性，作者证明了这种联系无法建立。他们进一步表明，这些反例在L²(R)中是稠密的，并通过谱几何将不稳定性方向与拉普拉斯算子的小特征值联系起来。

ABSTRACT

Gabor phase retrieval is the problem of reconstructing a signal from only the magnitudes of its Gabor transform. Previous findings suggest a possible link between unique solvability of the discrete problem (recovery from measurements on a lattice) and stability of the continuous problem (recovery from measurements on an open subset of $\mathbb{R}^2$). In this paper, we close this gap by proving that such a link cannot be made. More precisely, we establish the existence of functions which break uniqueness from samples without affecting stability of the continuous problem. Furthermore, we prove the novel result that counterexamples to unique recovery from samples are dense in $L^2(\mathbb{R})$. Finally, we develop an intuitive argument on the connection between directions of instability in phase retrieval and certain Laplacian eigenfunctions associated to small eigenvalues.

研究动机与目标

• 研究从采样Gabor相位恢复中获得的唯一性是否意味着连续问题中的稳定性。
• 确定具有有界局部利普希茨常数（稳定恢复）的信号是否能保证在格点上采样时的唯一性。
• 分析采样Gabor相位恢复中唯一性反例的结构与稠密性。
• 通过拉普拉斯算子特征函数探索相位恢复中不稳定性在几何与谱学上的根源。

提出的方法

• 构造显式反例 h±_a ∈ L²(R)，它们在全局相位意义下不相同，但在格点 R × aZ 上具有相同的Gabor变换模值。
• 证明这些反例在采样下破坏唯一性，同时在连续问题中保持一致有界的局部利普希茨常数。
• 利用Bargmann变换分析Fock空间中的Gabor变换，从而精确计算相位恢复行为。
• 通过时间平移与缩放生成更广泛的反例类 f±_γ = φ ± iγ T_{1/a}φ，表明其在格点采样下保持不变。
• 将相位恢复中的不稳定性方向与哑铃形区域上拉普拉斯–贝尔特拉米算子的低阶特征函数联系起来。
• 通过扰动论证与加权Poincaré常数和Cheeger常数的谱性质，建立反例在L²(R)中的稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 从格点上采样是否能推出连续Gabor相位恢复问题中的稳定性？
• RQ2 是否存在一个格点 Λ，使得具有有界局部利普希茨常数（ν-稳定）的信号能通过在 Λ 上的采样实现唯一恢复？
• RQ3 采样Gabor相位恢复中唯一性反例在L²(R)中是否稠密？
• RQ4 Gabor相位恢复中不稳定性在几何与谱学上的根源是什么？
• RQ5 具有小特征值的拉普拉斯算子特征函数如何与相位恢复中的不稳定性方向相关？

主要发现

• 本文证明了不存在任何格点 Λ，使得ν-稳定的信号能通过采样实现唯一恢复，从而弥合了从采样中获得唯一性与稳定性之间的差距。
• 从采样中破坏唯一性的反例在L²(R)中是稠密的，这意味着对于任意 f ∈ L²(R)，总存在一个与 f 任意接近的信号序列，其在任何格点上的Gabor变换模值均无法唯一恢复。
• 所构造的反例中，逆相位恢复算子的局部利普希茨常数保持一致有界（即稳定），即使唯一性失败。
• 相位恢复中的不稳定性在几何上与哑铃形区域上低阶拉普拉斯算子特征函数的存在相关，这些特征函数集中在两个叶瓣上，并对应于不稳定性方向。
• 作者通过原始 h±_a 的时间平移与缩放构造了一类反例 f±_γ = φ ± iγ T_{1/a}φ，表明这些函数在格点采样下保持不变，并保持模值相等。
• 分析表明，相位恢复中的不稳定性源于时频平面上质量的分离，其中Gabor变换模值集中在不相交区域，这在底层区域的谱性质中得到体现。