[论文解读] On the connection of the generalized nonlinear sigma model with constrained stochastic dynamics

Franco Ferrari, Jarosław Paturej|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2008

Material Dynamics and Properties参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文通过证明广义非线性σ模型（GNLσM）的生成泛函与带有非完整约束的朗之万方程的生成泛函等价，建立了GNLσM与受约束的随机过程之间的直接联系。作者利用伪极坐标，表明由δ函数约束产生的泛函行列式是平凡的，从而重新确立了场论形式与刚性连接粒子的布朗运动之间的联系。

ABSTRACT

The dynamics of a freely jointed chain in the continuous limit is described by a field theory which closely resembles the nonlinear sigma model. The generating functional $Ψ[J]$ of this field theory contains nonholonomic constraints, which are imposed by inserting in the path integral expressing $Ψ[J]$ a suitable product of delta functions. The same procedure is commonly applied in statistical mechanics in order to enforce topological conditions on a system of linked polymers. The disadvantage of this method is that the contact with the stochastic process governing the diffusion of the chain is apparently lost. The main goal of this work is to reestablish this contact. To this purpose, it is shown here that the generating functional $Ψ[J]$ coincides with the generating functional of the correlation functions of the solutions of a constrained Langevin equation. In the discrete case, this Langevin equation describes as expected the Brownian motion of beads connected together by links of fixed length.

研究动机与目标

• 重新建立广义非线性σ模型（GNLσM）与随机动力学之间的联系，该联系在路径积分中通过δ函数施加约束后一度丧失。
• 解决关于GNLσM是否源自随机过程（特别是具有固定长度连接的布朗运动）的模糊性。
• 证明尽管存在非完整约束，GNLσM的生成泛函仍与受约束朗之万方程的生成泛函相匹配。
• 表明在转换为伪极坐标后，由δ函数约束产生的泛函行列式是平凡的，从而确保场论形式与随机过程形式之间的等价性。

提出的方法

• 使用路径积分和δ函数强制 |R′|² = 1（表示固定长度连接）来构造GNLσM的生成泛函 Ψ[J]。
• 定义一个由受约束朗之万方程控制的随机过程，其中粒子的动力学为扩散性，并受固定连接长度的约束，噪声场为 ν。
• 使用Martin–Siggia–Rose形式化方法，结合δ函数约束，构造该随机过程的生成泛函 ˜Ψ[J]。
• 将场变量变换为伪极坐标，以简化约束结构，并计算由δ函数引起的泛函行列式。
• 表明在变量变换后，由约束 δ(|R′|² − 1) 产生的泛函行列式变为常数，从而消除了 Ψ[J] 与 ˜Ψ[J] 之间的差异。
• 在连续极限下证明 Ψ[J] 与 ˜Ψ[J] 的精确等价性，确认GNLσM描述的动力学与受约束随机过程完全相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义非线性σ模型（GNLσM）能否从具有非完整约束的随机朗之万过程中推导得出？
• RQ2 在路径积分中引入δ函数以强制固定长度连接，是否会模糊其与随机动力学的联系？
• RQ3 由δ函数约束产生的泛函行列式是否非平凡？若是，它是否会破坏与随机生成泛函的等价性？
• RQ4 变量变换（特别是伪极坐标）能否简化约束结构，并使行列式变为平凡？
• RQ5 Ψ[J] 与 ˜Ψ[J] 之间的等价性是否确认GNLσM描述的是与刚性连接粒子的布朗运动相同的物理系统？

主要发现

• 广义非线性σ模型的生成泛函 Ψ[J] 与受约束朗之万方程解的生成泛函 ˜Ψ[J] 完全等价。
• 在伪极坐标下，非完整约束 δ(|R′|² − 1) 不会产生非平凡的泛函行列式。
• 在变量变换后，由δ函数约束产生的泛函行列式变为平凡常数，从而确保了场论形式与随机过程形式之间的等价性。
• 由N个通过固定长度连接的粒子构成的离散朗之万动力学在连续极限下，产生与路径积分方法导出的相同生成泛函的GNLσM。
• 由朗之万方程描述的随机过程能够正确再现自由连接链的平衡与动态行为，验证了GNLσM作为随机场论的有效性。
• 该等价性确认GNLσM并非仅是形式化的场论，而是真实描述在几何约束下的布朗运动。