[论文解读] On the constant scalar curvature Kähler metrics, existence results

Xiuxiong Chen, Jingrui Cheng|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 39被引用 53

一句话总结

本文证明了 cscK 指标不存在与非增 K-energy 的去稳定化测地射线之间的等价性，并建立了从 K-energy 在 L1 测地距离的良好性推出 cscK 指标存在的结论，以及弱极小值的正则性。

ABSTRACT

In this paper, we generalize our apriori estimates on cscK(constant scalar curvature Kähler) metric equation to more general scalar curvature type equations (e.g., twisted cscK metric equation). As applications, under the assumption that the automorphism group is discrete, we prove the celebrated Donaldson's conjecture that the non-existence of cscK metric is equivalent to the existence of a destabilized geodesic ray where the $K$-energy is non-increasing. Moreover, we prove that the properness of $K$-energy in terms of $L^1$ geodesic distance $d_1$ in the space of Kähler potentials implies the existence of cscK metric. Finally, we prove that weak minimizers of the $K$-energy in $(\mathcal{E}^1, d_1)$ are smooth.

研究动机与目标

• 动机并推广对于 cscK 类型方程的先验估计至更一般的标量曲率方程，如扭转的 cscK。
• 证明 Donaldson 猜想：在离散自同构群下，cscK 指标不存在当且仅当存在一个非增 K-energy 的去稳定化测地射线。
• 证明 K-energy 在 L1 测地距离下的良好性推出 cscK 指标存在。
• 证明在 L1 空间中的 K-energy 弱极小解是光滑的。
• 将 cscK 指标的存在性与测地稳定性以及求解 cscK 方程的连续路径方法联系起来。

提出的方法

• 将先前工作的先验估计推广到扭转的 cscK 型方程。
• 使用 Donaldson 的连续路径及在几何约束下的开/闭性来求解 cscK 方程。
• 将 K-energy 与 J_chi 泛函拓展到完备的测地度量空间 (E^1, d1)，并研究在有限能量测地线上的凸性。
• 证明以 d1 距离表示的 K-energy 良好性等价于 cscK 指标的存在。
• 证明扭转 K-energy 的弱极小解通过连续路径是光滑的。

实验结果

研究问题

• RQ1 cscK 指标不存在是否蕴含存在一个非增 K-energy 的去稳定化测地射线？
• RQ2 相对于 L1 测地距离的 K-energy 良好性是否保证 cscK 指标的存在？
• RQ3 在 (E^1, d1) 中的扭转 K-energy 的弱极小解是否必然光滑？
• RQ4 扭转 K-energy 如何在离散自同构设定下与测地稳定性及 Donaldson 猜想相互作用？
• RQ5 连续路径能否用于将存在性结果推广到扭转的 cscK 方程及一般自同构群？

主要发现

• 在假设 Aut0(M,J)=0 的前提下，Donaldson 的猜想得到证明：cscK 指标不存在等价于存在一个非增 K-energy 的去稳定化测地射线。
• cscK 指标的存在等价于 K-energy 相对于 Kähler 势能空间上的 L1 测地距离 d1 的良好性。
• 在 (E^1, d1) 中的 K-energy 弱极小解是光滑的；该正则性结果同样适用于扭转 K-energy。
• K-energy 与 J_chi 可以扩展到 (E^1, d1)，并在有限能量测地线沿线具有凸性，从而使的变分方法求解 cscK 的存在成为可能。
• 紧致性定理表明，具有有界标量曲率和熵的 Kähler 势能集合在 C^{3,α} 中是预紧的，从而在曲率有界下得到正则性结果和 Calabi 流的扩展。
• 工作引入并使用不变量 R([ω0], [χ]) 来量化扭转连续路径的可解性，并表明 R 在同一 Kähler 类中定义良好且不变。
• 若 K-energy 下界，则 R([ω0],[χ])=1 当且仅当 R([ω0],[χ])>0，阐明了何时可将扭转路径求解至 t<1。