[论文解读] On the constant scalar curvature Kähler metrics, general automorphism group

Xiuxiong Chen, Jingrui Cheng|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 45

一句话总结

本文在Aut0(M,J)非平凡时，推导了带有奇异右端项的标量曲率类型估计，并证明 Donaldson’s 猜想：测地稳定性与 cscK 度量的存在之间的关系；它还在非离散自同构群的情形下将 K 能量的适当性与 cscK 的存在联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we derive estimates for scalar curvature type equations with more singular right hand side. As an application, we prove Donaldson's conjecture on the equivalence between geodesic stability and existence of cscK when $Aut_0(M,J) eq0$. Moreover, we also show that when $Aut_0(M,J) eq0$, the properness of $K$-energy with respect to a suitably defined distance implies the existence of cscK.

研究动机与目标

• 在固定的Kähler类中，将扭曲型cscK方程的先验估计扩展到更一般、可能带有奇异右端项的情形。
• 将估计推广到 Aut0(M,J) 非离散的情形。
• 在非离散自同构群的情形下，建立测地稳定性与 cscK 度量存在之间的等价性。
• 证明 K 能量（对自同构群模）的适当性保证 cscK 度量的存在。

提出的方法

• 研究右端项为 det(g+φ_{i jbar}) = e^{F} det g 的标量曲率类型方程。
• 在奇异右端项下，建立 F+f 的 W^{2,p} 和梯度估计。
• 证明 F+f 的有界性结果，并导出对 Δφ 及相关量的先验控制。
• 使用连续路径方法将先验估计与 cscK 度量的存在性结果联系起来。
• 定义并利用测地射线上的 Yen 不变量来分析沿射线的能量增量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Aut0(M,J) ≠ 0 时，测地稳定性是否蕴含 cscK 度量的存在？
• RQ2 相对于模 Aut0(M,J) 的 L1 测地距离，K 能量的适当性是否能保证 cscK 度量的存在？
• RQ3 标量曲率类型方程中奇异右端项如何影响先验估计与正则性？
• RQ4 Yen 不变量以及测地射线的平行性在刻画稳定性与存在性中的作用是什么？
• RQ5 在非离散自同构情形下，测地半稳定性是否等价于对所有 t<1 的连续路径可解？

主要发现

• 已建立 cscK 度量不存在与测地稳定性条件之间的等价性。
• 当且仅当 K 能量相对于模 Aut0(M,J) 的 L1 距离是适当时，存在 cscK 度量。
• 获得带有奇异右端项的标量曲率类型方程的先验估计，包括在 β ≥ 0 下的 W^{2,p} 估计。
• 在托里克流形上，cscK 的存在等价于 L1 稳定性。
• 本文将先前的离散 Aut0 结果扩展到一般的非离散自同构群，从而在该情形下实现对测地稳定性的表征。