[论文解读] On the constants of the Bohnenblust-Hille inequality and Hardy--Littlewood inequalities

Gustavo Ara Ujo, Daniel Pellegrino|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文改进了广义Bohnenblust-Hille不等式中常数的最佳已知估计，并将这些改进应用于推导Hardy-Littlewood不等式更紧的界。令人惊讶的是，对于复数标量和足够大的 $ p $，Hardy-Littlewood不等式中的最优常数被证明由一个与 $ p $ 无关的次多项式表达式一致有界，这表明两个不等式最优常数之间可能存在相等性，并引发关于其 $ p $-无关性的疑问。

ABSTRACT

In this paper, among other results, we improve the best known estimates for the constants of the generalized Bohnenblust-Hille inequality. These enhancements are then used to improve the best known constants of the Hardy--Littlewood inequality; this inequality asserts that for a positive integer $m\geq2$ with $2m\leq p\leq\infty$ and $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ there exists a constant $C_{m,p}^{\mathbb{K}}\geq1$ such that, for all continuous $m$--linear forms $T:\ell_{p}^{n} imes\cdots imes\ell_{p}^{n} ightarrow\mathbb{K}$, and all positive integers $n$,% \[ \left( \sum_{j_{1},...,j_{m}=1}^{n}\left\vert T(e_{j_{1}},...,e_{j_{m}% }) ight\vert ^{\frac{2mp}{mp+p-2m}} ight) ^{\frac{mp+p-2m}{2mp}}\leq C_{m,p}^{\mathbb{K}}\left\Vert T ight\Vert , \] and the exponent $\frac{2mp}{mp+p-2m}$ is sharp. In particular, we show that for $p > 2m^{3}-4m^{2}+2m$ the optimal constants satisfying the above inequality are dominated by the best known estimates for the constants of the $m$-linear Bohnenblust--Hille inequality. More precisely if $γ$ denotes the Euler--Mascheroni constant, considering the case of complex scalars as an illustration, we show that% \[ C_{m,p}^{\mathbb{C}}\leq\prod\limits_{j=2}^{m}Γ\left( 2-\frac{1}% {j} ight) ^{\frac{j}{2-2j}}

研究动机与目标

• 改进广义Bohnenblust-Hille不等式中常数的最佳已知估计。
• 将这些改进的估计应用于推导Hardy-Littlewood不等式中常数的更紧界。
• 研究对于足够大的 $ p $，Hardy-Littlewood不等式中的最优常数是否与 $ p $ 无关，特别是复数情形。
• 探讨Hardy-Littlewood不等式与Bohnenblust-Hille不等式中的最优常数是否一致。

提出的方法

• 作者使用基于多线性Hardy-Littlewood不等式和具有多个指数的经典Bohnenblust-Hille不等式的插值技术。
• 他们应用复插值和多线性Hölder不等式，推导出混合范数估计的界。
• 该方法涉及在与 $ ( ext{const})^{m-1} $ 界相关的指数元组 $ (1,2,...,2) $ 和经典Bohnenblust-Hille指数 $ \left(\frac{2m}{m+1}, \dots, \frac{2m}{m+1}\right) $ 之间进行插值。
• 他们利用Steinhaus变量的Khinchine不等式，对复数标量情形下的估计进行改进，将 $ \sqrt{2} $ 替换为 $ \frac{2}{\sqrt{\pi}} $。
• 分析利用了指数元组的凸包，并应用文献[1]中的多线性插值技术，推导出关于 $ p $ 的统一界。
• 通过取 $ \epsilon \to 0 $ 的极限，他们为 $ p > 2m^3 - 4m^2 + 2m $ 推导出一个与 $ p $ 无关的统一界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $ m $ 和 $ \mathbb{K} $，Hardy-Littlewood不等式与Bohnenblust-Hille不等式中的最优常数是否相同？
• RQ2 对于足够大的 $ p $，Hardy-Littlewood不等式中的最优常数 $ C_{m,p}^{\mathbb{K}} $ 是否与 $ p $ 无关？
• RQ3 Bohnenblust-Hille常数的次多项式增长能否推广到具有 $ p $-无关界的Hardy-Littlewood不等式？
• RQ4 复数标量情形下新界中缺乏 $ p $-依赖性，是否暗示两个不等式之间存在更深层次的结构等价性？

主要发现

• 对于复数标量和 $ p > 2m^3 - 4m^2 + 2m $，最优常数 $ C_{m,p}^{\mathbb{C}} $ 的上界为 $ \prod_{j=2}^{m} \Gamma\left(2 - \frac{1}{j}\right)^{\frac{j}{2-2j}} $，该界与 $ p $ 无关。
• 该界比以往的 $ p $-依赖估计更紧，并渐近小于 $ m^{(1 - \gamma)/2} $，其中 $ \gamma $ 为欧拉-马歇罗尼常数。
• 界 $ \prod_{j=2}^{m} \Gamma\left(2 - \frac{1}{j}\right)^{\frac{j}{2-2j}} $ 与复数Bohnenblust-Hille常数的最佳已知估计一致。
• 作者表明，对于大的 $ p $，Hardy-Littlewood常数受Bohnenblust-Hille常数支配，暗示其最优值可能存在相等性。
• 该结果令人惊讶，因为尽管原始不等式的指数依赖于 $ p $，但新界却完全不依赖 $ p $。
• 分析表明，对于大的 $ p $，Hardy-Littlewood不等式中的最优常数可能与 $ p $ 无关，尤其是在复数情形下。