[论文解读] On the Constitutive Relations for Second Sound in Thermo-Electroelasticity

Adriano Montanaro|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2009

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena参考文献 44被引用 11

一句话总结

本文通过推导有限变形、电极化、导热连续体的热力学一致本构关系，将第二声热弹性理论扩展至电磁机械系统。其提出了一个框架不变的卡坦诺类型热流演化方程，并利用科尔曼-诺尔方法推导热力学限制，表明内能和应力通过松弛函数与导热函数导出的对称正定张量依赖于热流。结果推广了经典热弹性理论，并为电-热-机械材料中的第二声提供了自洽框架。

ABSTRACT

Extending previous papers of Coleman-Fabrizio-Owen [1], [2] and Oncu-Moodie [3], we give a derivation of the thermodynamic restrictions on the constitutive relations of an electrically polarizable and finitely deformable heat conducting elastic continuum, interacting with the electric field. The constitutive equations include an evolution equation for the heat flux; the latter and the temperature obey a frame-invariant form of Cattaneo's equation.

研究动机与目标

• 通过引入有限变形与电极化，将第二声理论扩展至电-热-机械连续体。
• 以符合热力学第二定律的方式，推导热流、应力与极化本构关系的热力学限制。
• 建立一个框架不变的热流演化方程，将卡坦诺定律推广至耦合的电-热-机械系统。
• 通过去除热流率的本构依赖性，恢复经典傅里叶型理论，表明第二声与经典理论之间的一致性。

提出的方法

• 推导参考系热流 Q 的框架不变演化方程：T(F, θ, W) ˙Q + Q = −K(F, θ, W) Grad θ，其中 T 与 K 为非奇异张量。
• 将科尔曼-诺尔方法应用于简化后的耗散不等式，推导自由能、熵、应力与极化函数的热力学限制。
• 引入以右柯西-格林张量 E、温度 θ、电场 W 与温度梯度 G 表示的客观响应函数。
• 利用自由能函数 ψ(F, θ, W, g) 通过偏导数推导熵 η、应力 τ 与极化 π 的本构表达式。
• 通过压缩依赖于速率的本构定律，推导第二声与经典极限下的广义卡坦诺关系。
• 证明瞬时导热张量 ˆZ−1 为对称正定，确保演化方程的热力学一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以热力学一致的方式将第二声理论扩展至包含电极化与有限变形的系统？
• RQ2 在耦合的电-热-机械系统中，热流、应力与极化本构关系的热力学限制是什么？
• RQ3 框架不变的卡坦诺型热流演化方程如何影响自由能与应力响应函数的形式？
• RQ4 在所提出的框架下，热流在热平衡状态下为何必须为零？
• RQ5 在统一的热力学框架中，第二声理论与经典（傅里叶）理论之间有何关系？

主要发现

• 热流的本构关系为 T(F, θ, W) ˙Q + Q = −K(F, θ, W) Grad θ，该关系将卡坦诺定律推广至电-热-机械系统。
• 特定内能与第一皮奥拉-柯西应力分别表示为 ε = ε₀(F, θ, W) + Q · A(F, θ, W)Q 与 S = S₀(F, θ, W) + Q · P(F, θ, W)Q，其中 A 与 P 由松弛张量与导热张量导出。
• 张量 Z = K⁻¹T 为对称正定，确保演化方程的热力学一致性。
• 在热平衡状态（Grad θ = 0）下，热流 Q 恒为零，符合热力学要求。
• 通过去除热流的速率依赖性，可恢复经典理论，使本构模型仅依赖于状态变量。
• 自由能函数与温度梯度无关，且热流必须满足傅里叶不等式 q · g ≤ 0，以确保耗散非负。