[论文解读] On the Constitutive Relations in Thermo-Electroelasticity

Adriano Montanaro|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2009

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文在二阶声理论框架内，运用Coleman-Noll方法推导了热电致弹性材料的热力学一致本构关系。研究证明自由能函数必须与温度梯度无关，热 flux 必须满足简化版的耗散不等式，从而确保热力学相容性，并证明在热平衡状态下静态热 flux 为零。

ABSTRACT

We give a derivation of the thermodynamic restrictions on the constitutive relations of an electrically polarizable and finitely deformable heat conducting elastic continuum, interacting with the electric field. This is made following the method of Coleman-Noll in a thermodynamic theory with the Clausius-Duhem inequality.

研究动机与目标

• 通过引入有限变形、电场和热传导，将热弹性力学框架扩展至热电致弹性力学。
• 推导电极化可变、导热、有限变形连续体的本构关系的热力学限制。
• 通过Coleman-Noll方法施加耗散不等式，确保与热力学第二定律相容。
• 将Tiersten关于电热致弹性的基础工作推广至一个热力学一致、基于场的框架内。
• 证明热 flux 在热平衡状态下必须为零，这是简化耗散不等式的直接结果。

提出的方法

• 将Coleman-Noll方法应用于以有限变形、温度、电势和热 flux 为状态变量的连续体。
• 以Clausius-Duhem不等式作为热力学限制，导出涉及自由能、应力、极化与热 flux 的耗散不等式。
• 通过自由能函数 ψ(F, θ, W, G) 的链式法则推导本构关系，其中 F 为形变梯度，θ 为温度，W 为电场，G 为温度梯度。
• 通过要求耗散不等式对任意状态变量的时间变化率均成立，实现热力学相容性，从而对 ψ 的函数依赖关系施加约束。
• 通过 ψ 对 F、θ 和 W 的偏导数，分别推导单位质量的熵、第一Piola-Kirchhoff应力张量和极化矢量。
• 建立简化耗散不等式 Q·G ≤ 0，用于描述热 flux 矢量 Q 对温度梯度 G 的响应行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Coleman-Noll方法扩展至推导热电致弹性材料的热力学一致本构关系？
• RQ2 为确保在有限变形、电场和热传导存在下的热力学相容性，自由能函数 ψ 必须满足哪些必要条件？
• RQ3 在该框架中，热 flux 对温度梯度的依赖关系如何影响耗散不等式？
• RQ4 在何种条件下热 flux 在热平衡状态下为零？这一结论如何从热力学约束中推导得出？
• RQ5 该公式如何在热力学一致的框架内推广Tiersten关于电热致弹性的早期工作？

主要发现

• 自由能函数 ψ 与温度梯度 G 无关，这是热力学一致性的必要条件。
• 熵 η 由 ψ 对温度的负偏导数决定：η = −∂ψ/∂θ。
• 第一Piola-Kirchhoff应力张量 S 由 ψ 对形变梯度 F 的梯度导出：S = ρR ∂ψ/∂F。
• 单位质量的极化矢量 Π 由 ψ 对电场 W 的负梯度导出：Π = −∂ψ/∂W。
• 必须满足简化耗散不等式 Q·G ≤ 0，以确保热 flux 不在系统中产生能量。
• 在热平衡状态（G = 0）下，热 flux Q 恒为零：Q(F, θ, W, 0) = 0，证明在稳态热条件下不存在热 flux。