[论文解读] On the Construction and Malliavin Differentiability of Levy Noise Driven SDEs with Singular Coefficients

Sven Haadem, Frank Proske|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于马利avin微积分的新方法，用于构造由截断的 $\alpha$-稳定 Lévy 过程驱动的随机微分方程（SDEs）的唯一强解，其漂移系数具有奇异性且有界且 Hölder 连续。该方法通过直接逼近与紧致性论证构造解，绕过了路径唯一性，证明了在 $\alpha + \beta > 2$ 条件下解的存在性与马利avin可微性，其中 $\alpha \in (1,2)$ 且 $\beta \in (0,1)$。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new technique to construct unique strong solutions of SDEs with singular coefficients driven by certain Levy processes. Our method which is based on Malliavin calculus does not rely on a pathwise uniqueness argument. Furthermore, the approach, which provides a direct construction principle, grants the additional insight that the obtained solutions are Malliavin differentiable.

研究动机与目标

• 开发一种针对由 Lévy 过程驱动的、具有奇异（Hölder 连续）漂移系数的 SDE 强解的直接构造方法，避免依赖路径唯一性。
• 将现有的马利avin微积分技术从维纳过程情形推广至纯跳跃 Lévy 过程，特别是截断的 $\alpha$-稳定过程。
• 将解的马利avin可微性作为构造方法的关键副产品加以建立。
• 在 Lévy 指数 $\alpha$ 与漂移 Hölder 指数 $\beta$ 满足临界正则性条件 $\alpha + \beta > 2$ 时，证明强解的存在性与唯一性。
• 将该方法推广至形如 $b(t,x) = \sum_{i=1}^m f_i(t)b_i(x)$ 的时变非齐次漂移系数，其中 $f_i$ 连续，$b_i$ Hölder 连续。

提出的方法

• 通过光滑函数序列 $b_n$ 近似奇异漂移系数 $b$，构造一系列具有已知唯一强解 $X_t^n$ 的 SDE。
• 利用与 Lévy 过程 $L_t$ 相关的后向柯尔莫哥洛夫方程的解，重新表述漂移积分 $\int_0^t b_n(s,X_s^n)ds$，以增强正则性。
• 针对序列 $X_t^n$ 应用基于马利avin微积分的新型平方可积泛函紧致性准则，提取一个收敛子序列。
• 证明 $X_t^n$ 在 $L^2(\Omega)$ 中收敛于极限 $X_t$，并证明该极限满足原始 SDE（1）的极限形式。
• 通过证明逼近解的马利avin导数 $D_{\cdot,\cdot}X_t^n$ 的一致有界性，并利用文献 [27] 中的收敛结果，建立极限解 $X_t$ 的马利avin可微性。
• 利用 Itô 等距同柯尔莫哥洛夫解的二阶导数估计控制两个解之间的差异，应用 Gronwall 引理证明在极限下路径唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖路径唯一性或 Yamada-Watanabe 原理的前提下，为具有奇异漂移系数的 SDE 构造一种强解的直接构造方法？
• RQ2 在漂移系数 $b$ 与 Lévy 过程 $L_t$ 满足何种正则性条件下，由纯跳跃 Lévy 过程驱动的 SDE 存在唯一强解？
• RQ3 此类 SDE 的解是否具有马利avin可微性？该性质能否通过马利avin微积分中的紧致性论证建立？
• RQ4 该方法能否推广至形如 $b(t,x) = \sum_{i=1}^m f_i(t)b_i(x)$ 的时变非齐次漂移系数，其中 $f_i$ 连续，$b_i$ Hölder 连续？
• RQ5 Lévy 指数 $\alpha$ 与漂移 Hölder 指数 $\beta$ 之间确保解的存在性与唯一性的临界正则性阈值 $\alpha + \beta > 2$ 是什么？

主要发现

• 对于 $d$-维截断 $\alpha$-稳定过程，$\alpha \in (1,2)$，且漂移系数 $b \in C_b^\beta(\mathbb{R}^d)$，$\beta \in (0,1)$，当 $\alpha + \beta > 2$ 且 $T > 0$ 足够小时，存在唯一强解。
• 构造出的解 $X_t$ 对所有 $t \in [0,T]$ 均为马利avin可微，该结果源于逼近解的马利avin导数的一致有界性。
• 解的马利avin导数满足估计式 $\mathbb{E}[\|D_{\cdot,\cdot}X^{n_k}(\tau)\|_{L^2((0,\tau)) \otimes L^2(\nu)}^2] \leq K \exp(T M H_1(\|b\|_{C_b^\beta}^2))$，对所有 $k \geq 1$ 和 $0 < \tau \leq T$ 成立，确保其可积性。
• 证明通过 Itô 等距与 Gronwall 引理完成，表明在 $\alpha + \beta > 2$ 条件下，两个解之间的差异衰减至零，从而确立唯一性。
• 该方法可推广至时变非齐次漂移 $b(t,x) = \sum_{i=1}^m f_i(t)b_i(x)$，其中 $f_i$ 连续，$b_i \in C_b^\beta(\mathbb{R}^d)$，并保持解的存在性与马利avin可微性。
• 该方法避免使用路径唯一性，转而采用基于马利avin微积分的紧致性论证，实现了对解的直接构造。