[论文解读] On the construction of dense lattices with a given automorphism group

Philippe Gaborit, Gilles Zémor|ArXiv.org|May 3, 2006

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文提出一种构造性方法，通过Leech-Sloane构造A利用双循环码，在ℝⁿ中生成具有指定大小为n的自同构群的稠密格。其格 packing密度至少为0.064n⋅2⁻ⁿ，与目前已知的最优渐近下界在常数因子范围内一致，算法复杂度为exp(n log n)。

ABSTRACT

We consider the problem of constructing dense lattices of R^n with a given automorphism group. We exhibit a family of such lattices of density at least cn/2^n, which matches, up to a multiplicative constant, the best known density of a lattice packing. For an infinite sequence of dimensions n, we exhibit a finite set of lattices that come with an automorphism group of size n, and a constant proportion of which achieves the aforementioned lower bound on the largest packing density. The algorithmic complexity for exhibiting a basis of such a lattice is of order exp(nlogn), which improves upon previous theorems that yield an equivalent lattice packing density. The method developed here involves applying Leech and Sloane's construction A to a special class of codes with a given automorphism group, namely the class of double circulant codes.

研究动机与目标

• 在ℝⁿ中构造具有指定非平凡自同构群的稠密格。
• 实现与目前已知最优渐近下界cn⋅2⁻ⁿ（其中c ≈ 0.064）相匹配的格堆积密度。
• 确保构造方法有效且算法上可行，复杂度为exp(n log n)。
• 利用代数结构（双循环码）在保持自同构群性质的同时提升密度。
• 证明结构化的代数构造方法可在格密度方面与非结构化的概率方法相媲美。

提出的方法

• 应用Leech与Sloane的构造A，将𝔽ₚⁿ上的码转换为ℝⁿ中的格。
• 将搜索范围限制在双循环码，这类码具有大小为n的固定自同构群。
• 使用概率方法结合二分图分析，界定低范数对偶向量的数量。
• 通过欧氏球体积与Stirling公式估算范数，建立码的最小范数与格密度之间的关系。
• 通过参数选择t = (2eπ)⁻¹最小化系数e²π/(2p)，以优化码存在的概率。
• 通过体积与行列式关系验证所得格的密度确实匹配cn⋅2⁻ⁿ下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地构造出具有指定大小为n的自同构群的稠密格？
• RQ2 能否通过结构化码使渐近Minkowski-Hlawka型下界cn⋅2⁻ⁿ变得有效？
• RQ3 与随机格构造相比，限制在双循环码是否能显著降低算法复杂度？
• RQ4 能否利用格的自同构群来提升堆积密度，超越非结构化构造？
• RQ5 对于有效格堆积密度，cn⋅2⁻ⁿ仍为有效下界的最小常数c是多少？

主要发现

• 本文构造的格其堆积密度至少为0.064n⋅2⁻ⁿ，与目前已知最优渐近下界在常数因子范围内一致。
• 在𝔽ₚ上长度为n的双循环码中，存在一个常数比例的码可生成达到该密度下界的格，其中p的选择满足pⁿ ≈ 2ⁿ。
• 此类格的构造算法复杂度为exp(n log n)，显著优于以往的非有效证明。
• 该构造保持了码的自同构群，因此生成的格具有大小至少为n的自同构群。
• 当c < (2 − 1/e)/(2 + e²π) ≈ 0.064时，对于足够大的n，码向量范数≤w的概率小于1。
• 通过构造A得到的格密度与Ball的理论下界一致，证实了该方法的有效性。