[论文解读] On the construction of Lyapunov functions with computer assistance

Kaname Matsue, Tomohiro Hiwaki+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2016

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出一种计算机辅助方法，用于在双曲不动点的邻域内，为连续和离散动力系统构造显式的李雅普诺夫函数。通过两阶段验证——第一阶段验证关联矩阵的负定性（阶段1），第二阶段直接计算导数（阶段2）——该方法在具体区域内验证了二次李雅普诺夫函数，从而实现对局部动力学的严格分析，并可通过李雅普诺夫值对轨迹进行重参数化。

ABSTRACT

Computer assisted procedures of Lyapunov functions defined in given neighborhoods of fixed points for flows and maps are discussed. We provide a systematic methodology for constructing explicit ranges where quadratic Lyapunov functions exist in two stages; negative definiteness of associating matrices and direct approach. We note that the former is equivalent to the procedure of cones describing enclosures of the stable and the unstable manifolds of invariant sets, which gives us flexible discussions of asymptotic behavior not only around equilibria for flows but also fixed points for maps. Additionally, our procedure admits a re-parameterization of trajectories in terms of values of Lyapunov functions. Several verification examples are shown for discussions of applicability.

研究动机与目标

• 开发一种系统化、计算机辅助的方法，用于在双曲不动点的显式邻域内验证李雅普诺夫函数。
• 弥合抽象存在性定理与非线性动力系统中可计算验证的李雅普诺夫函数之间的差距。
• 通过结合两阶段验证程序，将李雅普诺夫函数的应用范围从平衡点扩展至更广区域。
• 通过使用李雅普诺夫函数值对轨迹进行重参数化，实现对渐近行为的改进分析。
• 提供一个统一框架，将李雅普诺夫函数、锥条件与验证性数值计算联系起来，用于动力系统。

提出的方法

• 使用区间分析严格验证与李雅普诺夫函数时间导数相关的矩阵 A(z) 的负定性（阶段1）。
• 对于不包含平衡点的区域，通过验证数值积分直接计算并验证沿解轨道的 dL/dt < 0（阶段2）。
• 利用不动点处的雅可比矩阵定义关联矩阵 A(z)，其负定性可推出双曲性及平衡点的局部唯一性。
• 通过验证与李雅普诺夫函数增量相关的矩阵 B(z) 的严格负定性，将该方法扩展至离散系统。
• 应用基于李雅普诺夫函数值的轨迹重参数化方法，以追踪有限与无限时间区间内的渐近动力学。
• 利用验证性数值求解器与区域划分技术，将李雅普诺夫域的范围扩展至不动点的邻域之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们如何系统地使用计算机辅助方法，在双曲不动点附近为流与映射构造并验证显式的李雅普诺夫函数？
• RQ2 关联矩阵 A(z) 的负定性与动力系统理论中经典的锥条件之间存在何种关系？
• RQ3 两阶段验证程序——先验证矩阵定性，再直接计算导数——是否可用于将李雅普诺夫域扩展至平衡点的直接邻域之外？
• RQ4 该方法如何通过李雅普诺夫函数值对轨迹进行重参数化，以分析长期行为？
• RQ5 当特征值接近虚轴（流）或单位圆（映射）时，该方法存在哪些局限性？

主要发现

• 与 dL/dt 相关的矩阵 A(z) 的负定性等价于稳定与不稳定流形的锥条件，为渐近分析提供了统一框架。
• 通过矩阵定性进行阶段1验证，可确保双曲平衡点的局部唯一性，并为李雅普诺夫函数的有效性提供充分条件。
• 阶段2可在阶段1失败时仍能扩展李雅普诺夫域，尤其适用于远离平衡点的区域。
• 该方法成功利用验证性数值计算与区间算术，验证了连续与离散系统的李雅普诺夫函数。
• 基于李雅普诺夫函数值对轨迹进行重参数化，可实现对渐近动力学（包括爆破等奇异行为）的追踪。
• 当特征值的实部接近零（流）或模长接近1（映射）的方向上，该过程在数值上变得具有挑战性。