[论文解读] On the Containment Problem for Unambiguous Single-Register Automata with Guessing

Antoine Mottet, Karin Quaas|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了带猜测的无歧义单寄存器寄存器自动机（GURA）的包含问题具有可判定性，证明了给定一个通用GURA 𝒜和一个无歧义的单寄存器GURA 𝒷，语言包含关系 L(𝒜) ⊆ L(𝒷) 在 EXPSPACE 时间内可判定。关键洞见在于利用无歧义自动机的结构特性，以及对同步配置应用坍塌机制，从而限制状态空间的探索范围。

ABSTRACT

Register automata extend classical finite automata with a finite set of registers that can store data from an infinite data domain for later equality comparisons with data from an input data word. While the registers in the original model of register automata, introduced in 1994 by Kaminski and Francez, can only store data occurring in the data word processed so far, we study here the more expressive class of register automata with guessing, where registers can nondeterministically take any value from the infinite data domain, even if this data does not occur in the input data word. It is well known that the containment problem, i.e., the problem of deciding for two given register automata with guessing A and B, whether the language L(A) accepted by A is contained in the language L(B) accepted by B, is undecidable, even if B only uses a single register. We prove that the problem is decidable if B is unambiguous and uses a single register.

研究动机与目标

• 解决带猜测的寄存器自动机中语言包含问题 L(𝒜) ⊆ L(𝒷) 的可判定性，其中 𝒷 为无歧义且仅使用一个寄存器。
• 解决形式化验证数据语言中的一个核心开放问题，特别是关于表达性自动机模型中的封闭性质与包含关系。
• 通过识别一个非平凡的可判定片段，拓展寄存器自动机中可判定问题的边界，尽管一般情况下的 GURA 包含问题是不可判定的。
• 为在无歧义性和单寄存器约束下的包含问题提供复杂度上界（EXPSPACE）。

提出的方法

• 引入同步配置的概念，以追踪在包含关系检查过程中两个自动机 𝒜 和 𝒷 的联合行为。
• 定义‘基本可覆盖’配置，以捕捉可通过某些数据字模拟的可达状态，从而实现有界分析。
• 应用坍塌机制，通过在特定条件下合并数据值来减少配置，同时保持可达性性质。
• 使用部分同构来模拟数据值的交换，确保在结构变换下覆盖性得以保持。
• 构建一个最大坍塌配置的有限图，其大小受 2^{k log(k) 2^{|ℒ|}} 限制，其中 k 为寄存器数量，|ℒ| 为状态数。
• 将包含问题归约为该有限图中的可达性问题，该问题可在指数空间内判定。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在一般情况下不可判定，无歧义单寄存器带猜测的寄存器自动机的包含问题是否可判定？
• RQ2 无歧义性和单寄存器使用等结构约束是否能促成包含问题的复杂度有界解法？
• RQ3 在这些限制条件下，包含问题的精确复杂度类是什么？
• RQ4 能否构建一个保持可达性并支持可判定性的配置的有限抽象？

主要发现

• 当 𝒷 为无歧义且仅使用一个寄存器时，即使 𝒜 为任意自动机，语言包含问题 L(𝒜) ⊆ L(𝒷) 也是可判定的。
• 该问题属于 EXPSPACE，为这一可判定片段建立了紧致的复杂度上界。
• 最大坍塌配置的数量在渐近意义上受 2^{k log(k) 2^{|ℒ|}} 限制，即关于状态数的双指数级增长。
• 坍塌机制确保了对错误配置的可达性在数据值抽象下得以保持，从而支持有限状态分析。
• 该证明依赖于一种新颖的覆盖性刻画方法，结合部分同构与配置的结构不变量。
• 该结果为长期悬而未决的开放问题提供了肯定答案，即关于无歧义 GURA 的封闭性质，特别是补集运算的性质。