[论文解读] On the continued fraction expansion of absolutely normal numbers

Adrian-Maria Scheerer|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过基于Sierpiński方法和混合过程的大偏差理论，采用递归的逐比特二进制构造，构建了一个显式可计算的绝对正规数，其连分数展开相对于Gauss-Kuzmin测度是正规的。关键贡献在于首次实现了同时为绝对正规和连分数正规的显式构造。

ABSTRACT

We construct an absolutely normal number whose continued fraction expansion is normal in the sense that it contains all finite patterns of partial quotients with the expected asymptotic frequency as given by the Gauss-Kuzmin measure. The construction is based on ideas of Sierpinski and uses a large deviations theorem for sums of mixing random variables.

研究动机与目标

• 解决构造一个既是绝对正规又连分数正规的数的开放问题。
• 提供一种构造性、可计算的算法，通过递归的二进制数位选择生成此类数。
• 利用混合过程的大偏差理论控制连分数正规性中的测度论偏差。
• 确保构造出的数避开非正规集合，同时在所需不变集上保持满测度。
• 证明该算法能同时生成满足绝对正规性和Gauss-Kuzmin正规性的数。

提出的方法

• 在[0,1)上使用递归区间选择过程，从[0,1)开始，每一步将区间二等分以确定二进制数位。
• 定义一个大而满测度的集合Ω，其中部分商的增长受到控制，以确保连分数正规性。
• 构造一个包含非正规数的小误差集E，满足λ(E) < β，其中β > 0为给定值。
• 应用混合随机变量和的大偏差估计，控制Gauss-Kuzmin测度下的偏差。
• 使用有限逼近Ω_N和E_k使构造过程可计算，误差界分别为ω_N和r_k。
• 在每一步选择与(Ω_N \ E_k)交集测度最大的区间，确保最终集合中测度为正。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否显式构造一个绝对正规数，使其连分数展开相对于Gauss-Kuzmin测度是正规的？
• RQ2 能否设计一种递归的、可计算的算法，生成一个在所有整数基下都正规且连分数正规的数？
• RQ3 能否将混合过程的大偏差理论应用于控制连分数正规性中的测度论偏差？
• RQ4 如何在保持所需正规数集合满测度的前提下使构造过程可计算？
• RQ5 是否存在一个既是绝对正规又是连分数正规的数，且能通过算法生成？

主要发现

• 本文构造了一个可计算的实数ν，其二进制展开通过递归选择(Ω_N \ E_k)中测度最大的区间生成。
• 所构造的数ν是绝对正规的，即对每个整数基b ≥ 2，它都是简单正规的。
• ν的连分数展开相对于Gauss-Kuzmin测度是正规的，即所有有限的部分商模式均以期望频率出现。
• 构造确保在每一步都有λ((Ω \ E) ∩ c_i) > 0，保证所选区间中存在此类数。
• 该算法是可计算的，即每个二进制数位可通过有限次基本算术运算和比较确定。
• 证明依赖于大偏差估计，以控制连分数正规性失败的集合测度，确保误差集E具有小但正的测度。