[论文解读] On the continuity and regularity of convex extensions

Orest Bucicovschi, Jiř́í Lebl|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文建立了通过凸包构造从紧集 C 到其凸包 K 的凸扩张的连续性与 C¹ 正则性的必要与充分条件。证明表明，若 C 包含 K 的相对边界，且 f 在 C 上连续且凸，则 f 可连续延拓至 K；此外，该延拓的 C¹ 正则性由边界上存在非竖直支撑超平面所刻画。这些结果被应用于量子纠缠度量，确保了连续纠缠度量的凸包延拓的连续性。

ABSTRACT

We study continuity and regularity of convex extensions of functions from a compact set $C$ to its convex hull $K$. We show that if $C$ contains the relative boundary of $K$, and $f$ is a continuous convex function on $C$, then $f$ extends to a continuous convex function on $K$ using the standard convex roof construction. In fact, a necessary and sufficient condition for $f$ to extend from any set to a continuous convex function on the convex hull is that $f$ extends to a continuous convex function on the relative boundary of the convex hull. We give examples showing that the hypotheses in the results are necessary. In particular, if $C$ does not contain the entire relative boundary of $K$, then there may not exist any continuous convex extension of $f$. Finally, when the boundary of $K$ and $f$ are $C^1$ we give a necessary and sufficient condition for the convex roof construction to be $C^1$ on all of $K$. We also discuss an application of the convex roof construction in quantum computation.

研究动机与目标

• 确定定义在紧集 C 上的连续凸函数能通过凸包构造连续延拓至凸包 K 的必要与充分条件。
• 刻画凸包延拓在 K 的相对内部为 C¹ 正则的条件，尤其关注 K 边界上支撑超平面的作用。
• 解决从凸集边界到其内部的凸函数延拓问题，特别是在原定义域并非完整相对边界的情况下。
• 将理论结果应用于量子信息理论，特别关注纠缠度量的凸包延拓的连续性。
• 证明：在纯量子态上纠缠度量的连续性可推出其凸包延拓在混合态上的连续性。

提出的方法

• 使用凸包构造作为将函数从集合 C 延拓至其凸包 K 的标准方法，以定义最大凸延拓。
• 利用 K 的相对内部与相对边界来定义延拓的拓扑与几何条件，特别关注 bd(K) 在延拓过程中的作用。
• 采用次梯度分析与支撑超平面刻画延拓的 C¹ 正则性，将可微性与边界点上非竖直支撑超平面的存在性联系起来。
• 关键技术工具是将 K 的相对边界作为延拓的定义域，且要求 f 必须连续延拓至 bd(K)，以保证在 K 上的连续延拓。
• 通过将混合量子态集合识别为紧凸集，其纯态为相对边界，将理论结果应用于量子力学。
• 论文利用纠缠态的 Schmidt 分解及迹类算子的性质，分析纠缠度量及其凸包延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，定义在凸包 K 的紧子集 C 上的连续凸函数，可通过凸包构造连续延拓至整个凸包 K？
• RQ2 凸包延拓在 K 的相对内部为 C¹ 光滑的精确条件是什么？
• RQ3 定义在 K 的相对边界的一个真子集上的凸函数，是否仍能存在连续凸延拓至 K？
• RQ4 边界点上非竖直支撑超平面的存在性如何与凸包延拓的 C¹ 正则性相关？
• RQ5 在纯量子态集合上纠缠度量的连续性是否能保证其凸包延拓在混合态集合上的连续性？

主要发现

• 若 C 包含 K 的相对边界，且 f 在 C 上连续且凸，则 f 到 K 的凸包延拓是连续的。
• 定义在紧集 C 上的函数 f 连续延拓至凸包 K，当且仅当 f 连续延拓至 K 的相对边界。
• 凸包延拓在 K 的相对内部为 C¹，当且仅当 f 在 K 的相对边界的每一点上均存在非竖直支撑超平面。
• 对于严格凸集 K，bd(K) 上的任意连续函数均可通过凸包构造连续延拓至 K。
• 在量子力学中，任意定义在纯态上的连续纠缠度量，均可通过凸包构造连续延拓至所有混合态。
• 即使无显式公式，本文也证明了连续纠缠度量的凸包延拓是连续的，从而解决了量子信息理论中的一个关键问题。