[论文解读] On the controllability of the Navier-Stokes equation in spite of boundary layers

Jean‐Michel Coron, Frédéric Marbach+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 5

一句话总结

本文建立了在边界部分区域存在Navier滑移-摩擦边界条件时，二维与三维不可压缩Navier-Stokes方程的小时间全局精确零可控性，尽管存在边界层。通过结合渐近展开技术和增强耗散，作者构造了一个在任意正时间T趋于零的弱Leray解，证明了通过边界上某开子集的控制，任意初始数据均可被驱动至零。

ABSTRACT

In this proceeding we expose a particular case of a recent result obtained by the authors regarding the incompressible Navier-Stokes equations in a smooth bounded and simply connected bounded domain, either in 2D or in 3D, with a Navier slip-with-friction boundary condition except on a part of the boundary. This under-determination encodes that one has control over the remaining part of the boundary. We prove that for any initial data, for any positive time, there exists a weak Leray solution which vanishes at this given time.

研究动机与目标

• 解决Jacques-Louis Lions关于Navier-Stokes方程小时间全局精确零可控性的开放问题。
• 应对在部分边界控制下Navier-Stokes系统中边界层的挑战。
• 在未受控边界部分满足Navier滑移-摩擦条件而非无滑移条件时，建立可控性。
• 扩展对具有非理想边界条件的粘性不可压缩流体中控制机制的理解。
• 为在任意正时间T将弱Leray解驱动至零提供一个构造性框架。

提出的方法

• 利用小参数ε的渐近展开，将速度场分解为主导项与高阶分量。
• 引入双尺度展开：u = u⁰ + εu¹ + v + r^ε，其中u⁰与u¹为正则化分量，v为对流场。
• 通过投影方法实施边界层校正，调整有限维矩以补偿非齐次边界数据。
• 利用增强耗散效应控制余项r^ε，借助黏性项中的ε缩放以抑制非线性。
• 对余项方程施加能量估计，证明‖r^ε(T/ε)‖_{L²} = o(1)，确保在时间T处趋于零。
• 依赖弱Leray解的存在性以及由于部分边界控制导致的系统欠定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过边界上非空开子集的控制，在任意正时间T将二维与三维不可压缩Navier-Stokes方程驱动至零？
• RQ2 在未受控部分存在Navier滑移-摩擦边界条件时，尽管形成边界层，是否仍能实现全局精确零可控性？
• RQ3 是否可利用增强耗散效应控制Navier-Stokes解多尺度渐近展开中的余项？
• RQ4 在部分边界控制下，对于任意初始数据u₀ ∈ L²_σ(Ω)，是否可构造一个在时间T趋于零的弱Leray解？
• RQ5 在有利几何设定下，该用于Navier条件的策略能否推广至更具挑战性的无滑移情形？

主要发现

• 本文证明：对任意初始数据u₀ ∈ L²_σ(Ω)及任意T > 0，存在一个在时间T趋于零的Navier-Stokes方程弱Leray解。
• 该结果适用于二维与三维光滑、有界、单连通区域，且未受控边界部分满足Navier滑移-摩擦条件。
• 控制通过边界上开子集Σ的边界数据实现，其余边界部分满足Navier条件。
• 渐近展开中余项r^ε满足‖r^ε(T/ε)‖_{L²(Ω)} = o(1)，确保在时间T处趋于零。
• 该方法依赖双尺度展开与增强耗散，以稳定余项并补偿非齐次边界数据。
• 该构造对初始数据大小与时间跨度T具有鲁棒性，证实了在给定边界条件下小时间全局精确零可控性。