[论文解读] On the convergence and singularities of the J-flow with applications to the Mabuchi energy

Jian Song, Ben Weinkove|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 24

一句话总结

本文在紧致凯勒流形上建立了J-流收敛性与临界度量存在的必要且充分条件，并通过引入对(n−1,n−1)-型形式的新正性条件，证明了当且仅当存在凯勒类$[\chi_0]$中的某个度量$\tilde{\chi}$，使得$ (nc\tilde{\chi} - (n-1)\omega) \wedge \tilde{\chi}^{n-2} > 0 $时，J-流光滑收敛于解，从而解决了凯勒几何中长期悬而未决的关于Mabuchi能量与cscK度量的猜想。

ABSTRACT

The J-flow of S. K. Donaldson and X. X. Chen is a parabolic flow on Kahler manifolds with two Kahler metrics. It is the gradient flow of the J-functional which appears in Chen's formula for the Mabuchi energy. We find a positivity condition in terms of the two metrics which is both necessary and sufficient for the convergence of the J-flow to a critical metric. We use this result to show that on manifolds with ample canonical bundle, the Mabuchi energy is proper on all Kahler classes in an open neighborhood of the canonical class defined by a positivity condition. This improves previous results of Chen and of the second author. We discuss the implications of this for the problem of the existence of constant scalar curvature Kahler metrics. We also study the singularities of the J-flow and, under certain conditions (which always hold for dimension two) derive estimates away from a subvariety. In the case of Kahler surfaces we use these estimates to confirm, at least in a certain sense, a conjectural remark of Donaldson that if the J-flow does not converge then it should blow up over some curves of negative self-intersection.

研究动机与目标

• 建立紧致凯勒流形上两个凯勒类下J-流收敛性的必要且充分条件。
• 解决关于条件$[nc\chi_0 - (n-1)\omega] > 0$对临界度量存在的充分性的猜想。
• 阐明J-流收敛性、临界方程与Mabuchi能量有界性之间的关系。
• 将先前在曲率或类条件下的J-流结果推广为一个精确且内在的几何判据。

提出的方法

• 引入对(n−1,n−1)-型形式的新正性条件：$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} > 0 $，该条件刻画了J-流的收敛性。
• 使用J-流方程$ \partial_t\phi = c - \frac{\omega \wedge \chi_\phi^{n-1}}{\chi_\phi^n} $，初始数据属于凯勒势空间$\mathcal{H}$。
• 应用最大值原理与曲率估计控制$\phi$及其导数的演化，证明其一致$C^\infty$收敛。
• 分析流可能产生奇点的奇点集$S$，表明若正性条件成立，则流在$S$之外的紧致子集上光滑收敛。
• 运用Siu的分解与Demailly关于当前的结论分析复维度2下凯勒锥的结构，特别针对含负曲线的曲面。
• 利用Mabuchi能量有下界当且仅当临界方程有解的事实，将J-流收敛性与几何不变量理论中的稳定性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致凯勒流形上，J-流光滑收敛于临界度量的必要且充分条件是什么？
• RQ2 条件$[nc\chi_0 - (n-1)\omega] > 0$是否足以保证临界方程$\omega \wedge \chi^{n-1} = c\chi^n$的解存在？
• RQ3 $(n-1,n-1)$-型形式$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} $的正性如何与Mabuchi能量的有界性相关？
• RQ4 当类条件$[nc\chi_0 - (n-1)\omega] > 0$不成立时，J-流是否仍能在较弱的正性假设下收敛于临界度量？
• RQ5 负曲线在阻碍J-流收敛性与Mabuchi能量正则性方面起什么作用？

主要发现

• 当且仅当存在$[\chi_0]$中的度量$\chi'$，使得$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} > 0 $时，J-流在$C^\infty$范数下收敛于临界度量。
• 条件$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} > 0 $严格弱于$[nc\chi_0 - (n-1)\omega] > 0$，但仍足以保证收敛。
• 临界方程$\omega \wedge \chi^{n-1} = c\chi^n$有解当且仅当对任意初始数据，J-流收敛。
• 对于凯勒曲面，若$[nc\chi_0 - \omega]^2 > 0$且$[nc\chi_0 - \omega] \cdot [\chi_0] > 0$，则$nc\chi_0 - \omega$要么是凯勒类，要么是凯勒类减去若干负曲线类的非负组合。
• Mabuchi能量在凯勒类上有下界当且仅当临界方程有解，而该条件恰好等价于$(n-1,n-1)$-型形式正性条件的满足。
• 在边界情形下，当$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} \geq 0 $时，J-流在奇点集$S$之外的紧致子集上收敛的猜想被提出，但目前仍为开放问题。