[论文解读] On the convergence of double Fourier series of functions of bounded partial generalized variation

Ушанги Гогинава, Artur Sahakian|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用 13

一句话总结

本文建立了函数具有有界部分 $\Lambda$-变差时，其双 Fourier 级数收敛的 $\Lambda = \{\lambda_n\}$ 序列的必要且充分条件。证明表明，若 $\lambda_n = n\gamma_n$，其中 $\gamma_n$ 单调递减且满足 $\sum \gamma_n/n = \infty$，则存在属于 $P\Lambda BV$ 的连续函数，其双 Fourier 级数在原点发散，说明仅靠部分 $\Lambda$-变差不足以保证收敛。

ABSTRACT

The convergence of double Fourier series of functions of bounded partial $Λ$-variation is investigated. The sufficient and necessary conditions on the sequence $Λ=\{λ_n\}$ are found for the convergence of Fourier series of functions of bounded partial $Λ$-variation.

研究动机与目标

• 确定双 Fourier 级数对具有有界部分 $\Lambda$-变差的函数收敛的序列 $\Lambda = \{\lambda_n\}$ 的精确条件。
• 研究有界部分 $\Lambda$-变差是否足以保证双 Fourier 级数收敛，特别是调和变差情形（$\lambda_n = n$）下。
• 构造显式反例，证明当 $\sum \gamma_n/n = \infty$ 时，$P\Lambda BV$ 中的连续函数的双 Fourier 级数可能发散。
• 将 $P\Lambda BV$ 类与 Dyachenko 和 Waterman 引入的其他广义有界变差类（如 $\Lambda^*BV$）进行比较。
• 通过在原点证明发散结果，表明即使对于连续函数，有界部分 $\Lambda$-变差也非收敛的充分条件。

提出的方法

• 将类 $P\Lambda BV$ 定义为具有有限部分 $\Lambda$-变差的函数，其中 $\Lambda V(f) = \Lambda V_1(f) + \Lambda V_2(f) < \infty$，$\Lambda V_1$ 和 $\Lambda V_2$ 分别在固定一个变量时测量单变量变差。
• 使用序列 $\lambda_n = n\gamma_n$，其中 $\gamma_n$ 单调递减且满足 $\gamma_n = O(\gamma_{n^{1+\delta}})$（$\delta > 0$），以分析 Fourier 级数的行为。
• 构造一个连续函数 $f_N(x,y)$，作为 dyadic 矩形 $A_{i,j}$ 上带符号正弦乘积的和，振幅为 $t_j = \left(\sum_{i=1}^{m_j} \frac{1}{\lambda_j}\right)^{-1}$，且 $m_j = [j^{1+\delta}]$。
• 应用引理 1（重排不等式）以界定变差半范数 $\Lambda V_1(f_N)$ 和 $\Lambda V_2(f_N)$，表明它们一致有界于 1。
• 利用 Banach-Steinhaus 定理推断存在一个连续函数 $f \in P\Lambda BV$，其双 Fourier 级数的方和在 $(0,0)$ 发散。
• 通过积分表示估计 $(0,0)$ 处的双 Fourier 部分和，表明其增长类似于 $\sum_{j=1}^{N_\delta} \frac{\gamma_j}{j}$，在 $\sum \gamma_j/j = \infty$ 条件下趋于无穷。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些关于序列 $\Lambda = \{\lambda_n\}$ 的条件是函数在 $P\Lambda BV$ 中的双 Fourier 级数收敛的必要且充分条件？
• RQ2 有界部分 $\Lambda$-变差是否足以保证连续函数的双 Fourier 级数收敛？
• RQ3 当 $\lambda_n = n\gamma_n$ 时，条件 $\sum \gamma_n/n < \infty$ 是否可被削弱或移除而不影响收敛性？
• RQ4 在收敛性方面，$P\Lambda BV$ 类与 Dyachenko 和 Waterman 引入的 $\Lambda^*BV$ 类相比如何？
• RQ5 四象限极限的存在是否保证双 Fourier 级数收敛？这与 $\Lambda^*BV$ 条件有何关系？

主要发现

• 若 $\lambda_n = n\gamma_n$，其中 $\gamma_n$ 单调递减且 $\sum \gamma_n/n < \infty$，则 $P\Lambda BV \subset HBV$，意味着双 Fourier 级数收敛。
• 若 $\gamma_n = O(\gamma_{n^{1+\delta}})$（$\delta > 0$）且 $\sum \gamma_n/n = \infty$，则 $P\Lambda BV \not\subset HBV$，因此一般情况下不收敛。
• 存在一个连续函数 $f \in P\Lambda BV$，使得其双 Fourier 级数的方和在原点 $(0,0)$ 发散，条件为 $\sum \gamma_n/n = \infty$。
• 发散性通过构造 $f_N$ 得到证明，其 $P\Lambda V$-范数一致有界但 Fourier 部分和在 $(0,0)$ 发散，利用 Banach-Steinhaus 定理。
• $(0,0)$ 处部分和的增长估计为 $\sum_{j=1}^{N_\delta} \frac{\gamma_j}{j}$，当 $N \to \infty$ 时趋于无穷，确认了发散性。
• 结果表明，即使对于连续函数，有界部分 $\Lambda$-变差也非双 Fourier 级数收敛的充分条件，且 $HV_{1,2}(f) < \infty$ 是收敛的必要条件。