[论文解读] On the Convergence of Laplacian spectra in Point Integral Method from point cloud

Zuoqiang Shi, Jian Sun|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

3D Shape Modeling and Analysis被引用 2

一句话总结

本文建立了点积分法（PIM）在紧致黎曼流形上计算拉普拉斯谱的收敛性，该流形等距嵌入在欧几里得空间中，包括带边界的流形。证明了离散拉普拉斯算子的特征值和特征向量均收敛于具有诺伊曼边界条件的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值和特征向量，并提供了收敛速率的估计。

ABSTRACT

The spectral structure of the Laplacian-Beltrami operator (LBO) on manifolds has been widely used in many applications, include spectral clustering, dimensionality reduction, mesh smoothing, compression and editing, shape segmentation, matching and parameterization, and so on. Typically, the underlying Riemannian manifold is unknown and often given by a set of sample points. The spectral structure of the LBO is estimated from some discrete Laplace operator constructed from this set of sample points. In our previous papers, we proposed the point integral method to discretize the LBO from point clouds, which is also capable to solve the eigenproblem. Then one fundmental issue is the convergence of the eigensystem of the discrete Laplacian to that of the LBO. In this paper, for compact manifolds isometrically embedded in Euclidean spaces possibly with boundary, we show that the eigenvalues and the eigenvectors obtained by the point integral method converges to the eigenvalues and the eigenfunctions of the LBO with the Neumann boundary, and in addition, we give an estimate of the convergence rate. This result provides a solid mathematical foundation for the point integral method in the computation of Laplacian spectra from point clouds.

研究动机与目标

• 建立点积分法（PIM）从点云计算拉普拉斯谱的理论收敛性。
• 分析离散拉普拉斯算子的特征值和特征向量向紧致带边流形上拉普拉斯-贝尔特拉米算子（LBO）的特征值和特征向量的收敛性。
• 在PIM框架下，为特征系统提供收敛速率的定量估计。
• 为谱聚类、形状分析和网格处理等应用，拓展PIM的数学基础。

提出的方法

• 使用点积分法（PIM）从紧致黎曼流形采样得到的点云中对拉普拉斯-贝尔特拉米算子（LBO）进行离散化。
• 基于几何邻近性和体积估计，利用加权积分在点云上构造离散拉普拉斯算子。
• 通过在离散特征值问题的弱形式中强制法向导数为零，将诺伊曼边界条件纳入方法中。
• 利用数值分析和黎曼几何的工具进行收敛性分析，重点关注点云密度趋于无穷时的极限行为。
• 通过摄动分析和逼近理论，推导出特征值和特征向量收敛速率的理论界。

实验结果

研究问题

• RQ1 点积分法是否能产生收敛于紧致带边流形上真实拉普拉斯-贝尔特拉米算子谱的特征值和特征向量？
• RQ2 离散特征系统向连续LBO谱的收敛速率是多少？
• RQ3 PIM在离散设置中如何处理诺伊曼边界条件？
• RQ4 在欧几里得空间中的等距嵌入条件下，该收敛性能否被严格证明？

主要发现

• 通过点积分法计算出的特征值收敛于具有诺伊曼边界条件的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值。
• 相应的特征向量在L2范数下收敛于LBO的特征函数。
• 收敛速率得到了定量估计，为离散谱中的误差提供了理论界。
• 该收敛性适用于等距嵌入在欧几里得空间中的紧致黎曼流形，即使带有边界也成立。