[论文解读] On the convergence of multi-level Hermite-Padé approximants for a class of meromorphic functions

L. G. González Ricardo, G. López Lagomasino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Mathematical functions and polynomials参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文建立了具有实系数的Nikishin系统经有理扰动后生成的亚纯函数的多层Hermite-Padé逼近的收敛性。它在远离特征多项式零点和支集的紧子集上证明了几何收敛速率，利用势论和正交多项式工具，将Markov和Stieltjes型定理推广至该类函数。

ABSTRACT

The present paper deals with the convergence properties of multi-level Hermite-Padé approximants for a class of meromorphic functions given by rational perturbations with real coefficients of a Nikishin system of functions, and study the zero location of the corresponding multiple orthogonal polynomials.

研究动机与目标

• 将Markov和Stieltjes型收敛定理推广至由Nikishin系统有理扰动生成的亚纯函数的多层Hermite-Padé逼近。
• 分析与此类扰动系统相关的多重正交多项式的零点分布。
• 在逼近器支集和极点之外的 extended 复平面的紧子集上建立一致收敛性。
• 利用势论工具和极值问题，提供收敛速率的定量估计。

提出的方法

• 本研究采用通过Nikishin系统中测度的Cauchy变换定义的多层Hermite-Padé逼近，其基于一组多项式方程。
• 引入反向Nikishin系统以分析逼近器及其相关多项式的渐近行为。
• 收敛性分析依赖于函数 $ \varphi_{\infty} $，即从最后一个区间的凸包补集到单位圆外部的共形映射。
• 在 $ \rho < 1 $ 的曲线 $ \gamma_{\rho} $ 上应用最大值原理，通过逼近器及其比值的范数界，推导出衰减估计。
• 该方法利用特征多项式 $ T(z) $，其零点决定了逼近器极点的位置，并将 $ \delta(\mathcal{K}) $ 定义为收敛速率的模连续性。
• 利用比值 $ a_{n,j}/a_{n,m} $ 在紧集 $ \mathcal{K} $ 上一致收敛于 $ \widehat{s}_{m,j+1} $ 的事实，其收敛速率由 $ \delta(\mathcal{K}) \|\varphi_{\infty}\|_{\mathcal{K}} $ 控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多层Hermite-Padé逼近器对由Nikishin系统有理扰动生成的亚纯函数收敛？
• RQ2 在复平面上，相关多重正交多项式的零点的渐近行为如何？
• RQ3 在排除支集和极点的复平面紧子集上，逼近器的收敛速率精确为何？
• RQ4 能否为这类逼近器建立几何收敛速率？其依赖于支集的几何结构和扰动方式如何？
• RQ5 反向Nikishin系统如何影响逼近器的收敛性质？

主要发现

• 多层Hermite-Padé逼近器在紧集 $ \mathcal{K} \subset \overline{\mathbb{C}} \setminus (\Delta_m \cup \{z: T(z) = 0\}) $ 上一致收敛，极限为有理扰动生成的亚纯函数。
• 收敛速率为几何级，第 $ n $ 个误差范数的 $ n $ 次根满足 $ \limsup_{n \to \infty} \left\| \frac{a_{n,j}}{a_{n,m}} - \widehat{s}_{m,j+1} \right\|_{\mathcal{K}}^{1/n} \leq \delta(\mathcal{K}) \|\varphi_{\infty}\|_{\mathcal{K}} $。
• 多项式 $ a_{n,m} $ 的零点（即逼近器极点的主要决定因素）随着 $ n \to \infty $ 而收敛至特征多项式 $ T(z) $ 的零点。
• 当 $ n $ 足够大时，多项式 $ a_{n,m} $ 在 $ \Delta_m $ 外恰好有 $ D $ 个零点，且这些零点在与 $ \Delta_m $ 和 $ T(z) $ 的零点集不相交的任意紧集 $ \mathcal{K} $ 外保持一致远离。
• 逼近器在 $ \mathcal{K} $ 上一致收敛，误差衰减速率由 $ \delta(\mathcal{K}) $ 控制，该量与集合的容量及共形映射 $ \varphi_{\infty} $ 相关。
• 当生成测度在Stahl和Totik意义下为正则时，可望获得更精确的收敛估计，但这些结果留待未来工作。