[论文解读] On the convergence of the hp-BEM with quasi-uniform meshes for the electric field integral equation on polyhedral surfaces

Alex Bespalov, Norbert Heuer|ArXiv.org|Oct 20, 2008

Numerical methods in engineering参考文献 27被引用 4

一句话总结

本论文通过使用拟均匀网格和Raviart-Thomas $H({\mathrm{div}})$-符合元，建立了在分片平面多面体曲面上使用 $hp$-边界元方法（BEM）求解电场积分方程（EFIE）的拟最优收敛性。关键贡献在于构造并分析了一类新型的 $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv})$-符合 $p$-插值算子，该算子在多项式次数上具有拟稳定性，从而在解的正则性较低的情况下，仍能证明 $hp$-版本的收敛性。

ABSTRACT

In this paper the hp-version of the boundary element method is applied to the electric field integral equation on a piecewise plane (open or closed) Lipschitz surface. The underlying meshes are supposed to be quasi-uniform. We use H(div)-conforming discretisations with quadrilateral elements of Raviart-Thomas type and establish quasi-optimal convergence of hp-approximations. Main ingredient of our analysis is a new H^{-1/2}(div)-conforming p-interpolation operator that assumes only H^r \cap H^{-1/2}(div)-regularity (r > 0) and for which we show quasi-stability with respect to polynomial degrees.

研究动机与目标

• 建立在分片平面多面体曲面上使用拟均匀网格的 $hp$-BEM 对电场积分方程（EFIE）的收敛性。
• 解决由于多面体曲面上的边和角奇点导致的解正则性低下的挑战。
• 构造一种新的插值算子，确保在 $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-范数下关于多项式次数 $p$ 的拟稳定性。
• 将收敛性分析从 $p$-版本推广至完整的 $hp$-版本，其中 $h$-版本为特例。
• 为非仿射四边形和曲线网格上的 $hp$-BEM 提供能量范数下先验误差估计的基础。

提出的方法

• 分析基于 Rumsey 对 EFIE 的变分形式化以及能量空间的 Hodge 分解。
• 在参考四边形单元上构造了一类新的 $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-符合插值算子 $\Pi_p^{\mathrm{div},-1/2}$。
• 该算子通过在散度分量上进行 $\tilde{H}^{-1/2}$-投影来定义，使用了内积的显式表达式。
• 利用先前工作中获得的离散 inf-sup 条件，证明了该插值算子关于多项式次数的稳定性。
• 采用尺度分析方法，推导出在多项式次数 $p$ 上一致的界。
• 通过证明离散分解满足 $hp$-BEM 框架中拟最优性所需的必要条件，得出收敛结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用拟均匀网格的 $hp$-BEM 能否在正则性较低的多面体曲面上对 EFIE 实现拟最优收敛？
• RQ2 能否构造一个在多项式次数 $p$ 增大时仍保持稳定的 $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-符合插值算子？
• RQ3 如何调整 Hodge 分解框架，以在使用拟均匀网格的 $hp$-版本中确保离散正交性和稳定性？
• RQ4 使用非经典插值算子是否能克服经典 Raviart-Thomas 算子在多面体曲面上的不稳定性？
• RQ5 该收敛结果能否推广至非仿射四边形和曲线网格？

主要发现

• 使用拟均匀网格的 $hp$-BEM 在分片平面多面体曲面上对 EFIE 实现了拟最优收敛。
• 收敛速率被限制为 $\left(\frac{h}{p}\right)^{\min\{s^*,\frac{1}{2}\}-\varepsilon}$，其中任意 $\varepsilon > 0$，$s^*$ 为解的正则性指数。
• 所提出的 $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-符合插值算子 $\Pi_p^{\mathrm{div},-1/2}$ 在多项式次数 $p$ 上具有拟稳定性。
• 该分析依赖于先前在文献 [9] 中建立的离散 inf-sup 条件，确保了插值算子在能量范数下的稳定性。
• 收敛结果适用于仿射和非仿射四边形单元，包括凸形和曲线形单元。
• 该方法将文献 [8] 中的 $p$-版本收敛结果推广至完整的 $hp$-版本，且保持相同的收敛速率结构。