[论文解读] On the convergence of the spectral viscosity method for the incompressible Euler equations with rough initial data

Samuel Lanthaler, Siddhartha Mishra|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 31被引用 2

一句话总结

本文提出了一种谱黏性方法，用于求解具有粗糙初始数据的二维不可压缩欧拉方程——具体而言，当初始涡度属于德洛尔类（即一个带符号测度与一个可积函数的和）时。该文证明了方法收敛至弱解，这是首次针对此类粗糙初始数据的数值方法实现严格收敛的结果，并通过涡量片和受限涡旋等数值实验验证了该方法的有效性。

ABSTRACT

We propose a spectral viscosity method to approximate the two-dimensional Euler equations with rough initial data and prove that the method converges to a weak solution for a large class of initial data, including when the initial vorticity is in the so-called Delort class i.e. it is a sum of a signed measure and an integrable function. This provides the first convergence proof for a numerical method approximating the Euler equations with such rough initial data and closes the gap between the available existence theory and rigorous convergence results for numerical methods. We also present numerical experiments, including computations of vortex sheets and confined eddies, to illustrate the proposed method.

研究动机与目标

• 弥合欧拉方程中粗糙初始数据的存在性理论与数值方法缺乏严格收敛结果之间的差距。
• 开发一种能够处理属于德洛尔类的初始涡度的数值方法，该类涡度包括涡量片等奇异测度。
• 在初始数据的正则性假设最小的条件下，建立数值格式收敛至弱解的理论结果。
• 为具有不连续或奇异涡度的复杂流体流动提供可靠数值模拟的基础。

提出的方法

• 应用一种谱黏性方法，通过添加高频依赖的高阶耗散项来稳定欧拉方程的谱近似。
• 采用欧拉方程的弱形式以容纳低正则性初始数据，如测度和 $ L^p $ 函数。
• 引入一种随分辨率衰减的黏性项，确保在黏性趋于零的极限下与原始欧拉方程保持一致性。
• 利用谱方法在光滑区域实现高精度，同时通过黏性项控制不连续附近的振荡。
• 利用能量估计与紧致性论证，在分布意义下证明收敛至弱解。
• 通过包含涡量片和受限涡旋等基准问题的数值实验，验证方法的鲁棒性与精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始涡度属于德洛尔类时，数值方法能否收敛至二维不可压缩欧拉方程的弱解？
• RQ2 谱黏性方法在具有奇异测度和低可积性初始数据时是否保持稳定性和收敛性？
• RQ3 该方法在模拟具有粗糙初始数据的物理上相关的流动（如涡量片和受限涡旋）时表现如何？
• RQ4 在初始涡度粗糙的情况下，谱黏性方法收敛性的理论依据是什么？
• RQ5 该方法能否弥合粗糙初始数据下存在性结果与数值收敛性之间的理论鸿沟？

主要发现

• 谱黏性方法对属于德洛尔类的初始涡度，收敛至二维不可压缩欧拉方程的弱解。
• 通过紧致性与能量估计实现了严格的收敛性证明，这是首次针对粗糙初始数据应用数值格式所获得的此类结果。
• 该方法在数值实验中成功捕捉了涡量片和受限涡旋等复杂流动结构。
• 黏性项的施加方式在保持谱精度的同时，有效稳定了不连续附近的格式。
• 理论框架证实，该方法在黏性趋于零的极限下仍与原始欧拉方程保持一致性。
• 数值结果表明，即使初始数据包含奇异分量，方法仍表现出鲁棒性与高精度，验证了理论收敛性。