[论文解读] On the convexity and circularity of the numerical range of nilpotent quaternionic matrices

Luís Carvalho, Cristina Diogo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Matrix Theory and Algorithms被引用 4

一句话总结

本文建立了幂等四元数矩阵数值域为圆或凸的充分必要条件。证明了对于 3×3 幂等矩阵，其数值域为圆当且仅当矩阵无环；为凸当且仅当乘积 $ a_{13}^*a_{12}a_{23} $ 为实数。这些结果通过关联矩阵的环结构图论条件推广至一般幂等矩阵，并应用伯杰最大定理，推导出对角线为实数且幂等部分呈树状结构的矩阵的凸性。

ABSTRACT

We provide a sufficient condition for the numerical range of a nilpotent matrix N to be circular in terms of the existence of cycles in an undirected graph associated with N. We prove that if we add to this matrix N a diagonal real matrix D, the matrix D + N has convex numerical range. For 3 x 3 nilpotent matrices, we strength further our results and obtain necessary and sufficient conditions for circularity and convexity of the numerical range.

研究动机与目标

• 确定幂等四元数矩阵数值域为圆或凸的条件。
• 刻画四元数环境下数值域的形状，其中 Toeplitz-Hausdorff 定理不成立。
• 将复数情形下的结果推广至四元数，特别是针对幂等矩阵。
• 为 3×3 矩阵提供图论条件（无环性）以表征圆性，以及实数乘积条件以表征凸性。
• 证明将实对角矩阵加到幂等矩阵上，可得到具有凸数值域的矩阵。

提出的方法

• 将数值域 $ W(A) $ 定义为 $ \{ \mathbf{x}^* A \mathbf{x} \mid \|\mathbf{x}\| = 1 \} $，在 $ \mathbb{H}^n $ 中使用四元数内积。
• 利用与矩阵关联的无向图检测环；无环图意味着数值域为圆。
• 应用伯杰最大定理分析 $ \mathbf{x}^* A \mathbf{x} $ 实部的上确界，从而实现凸性证明。
• 通过酉等价性，当 $ a_{13}^*a_{12}a_{23} \in \mathbb{R} $ 时，将矩阵变换为实矩阵形式，利用实矩阵的已知凸性结果。
• 通过参数化向量 $ \mathbf{y} \in \mathbb{S}_{\mathbb{H}^3} $ 的反证法，证明实数乘积条件的必要性。
• 利用恒等式 $ \pi_{\mathbb{R}}(ab) = \pi_{\mathbb{R}}(ba) $ 分析涉及四元数表达式的实性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，幂等四元数矩阵的数值域为圆？
• RQ2 3×3 幂等四元数矩阵的数值域为凸的必要充分条件是什么？
• RQ3 关联图中幂等矩阵的环的存在如何影响其数值域的形状？
• RQ4 当 $ D $ 为实对角矩阵且 $ N $ 为幂等矩阵时，矩阵 $ D + N $ 的数值域是否可保证为凸？
• RQ5 在 3×3 幂等矩阵中，乘积 $ a_{13}^*a_{12}a_{23} $ 与数值域凸性之间有何关系？

主要发现

• 对于 3×3 幂等矩阵 $ A $，其数值域 $ W(A) $ 为圆当且仅当 $ A $ 无环。
• 3×3 幂等矩阵的数值域 $ W(A) $ 为凸当且仅当 $ a_{13}^*a_{12}a_{23} \in \mathbb{R} $。
• 若 $ a_{13}^*a_{12}a_{23} \in \mathbb{R} $，则 $ A $ 酉等价于实矩阵，因此 $ W(A) $ 为凸。
• 当矩阵的幂等部分为树状结构且对角部分为实数时，其数值域为若干圆盘的并集，因此为凸。
• 本文提供一个例子，说明数值域中圆盘的并集可形成椭圆，表明凸性不蕴含圆性。
• 对于一般幂等矩阵，若其关联图是树，则为数值域圆的充分条件，但该条件非必要。