[论文解读] On the Convexity of Image of a Multidimensional Quadratic Map

Anatoly Dymarsky|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过使用超平面分割像集，将多维二次映射的像划分为一个紧致凸子集，提出了一种类凸性的充分条件。引入了一个可计算的阈值 $ z_{\text{max}} $ 以识别凸性部分，当 $ z_{\text{max}} $ 为无穷大时，可扩展为整体凸性，并将该结果应用于证明直流潮流方程中可解集的凸性。

ABSTRACT

We study convexity of image of a general multidimensional quadratic map. We split the full image into two parts by an appropriate hyperplane such that one part is compact, and formulate a sufficient condition for convexity of the compact part. We propose a way to identify such convex parts of the full image which can be used in practical applications. By shifting the hyperplane to infinity we extend the sufficient condition for convexity to apply to the full image of the quadratic map. As a related result, we formulate a novel condition for the joint numerical range of m-tuple of hermitian matrices to be convex. Finally, we illustrate our findings by considering several examples. In particular we prove convexity of solvability set for the Power Flow equations in case of DC networks.

研究动机与目标

• 为解决一般多维二次映射像集何时凸的开放问题。
• 在完整像集非凸时，识别并表征其中的凸子集。
• 通过超平面分割分析无穷远处的行为，将局部凸性条件扩展为全局凸性。
• 将该框架应用于厄米矩阵的联合数值域及直流潮流方程的可解集。

提出的方法

• 通过方向 $ c \in \mathbb{R}^m $ 定义的超平面，将二次映射的像划分为紧致部分与非紧致部分。
• 将 $ z_{\text{max}} $ 定义为满足子集 $ \mathscr{F}(f, c_+, z_{\text{max}}) $ 凸性的最大值，其依据为 $ c \cdot A $ 的广义特征值结构。
• 通过矩阵 $ g_{ij} = \text{Re}(\tilde{v}_i^* \tilde{v}_j) $ 的保守估计，并利用正交变换对系统进行对角化。
• 将该条件应用于 $ m $ 重厄米矩阵的联合数值域，推导出一种新颖的凸性判别准则。
• 利用 $ \varepsilon_{\text{max}} \to \infty $ 的极限，将局部凸性扩展为像集的全局凸性。
• 通过显式参数化零空间向量与二次型，验证特定例子中凸性或非凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一般多维二次映射的像集是凸的？
• RQ2 当完整像集非凸时，能否识别并表征其像集中的凸子集？
• RQ3 $ c \cdot A $ 的广义特征值结构在确定像集子集凸性中起何作用？
• RQ4 如何表征 $ m $ 重厄米矩阵联合数值域的凸性？
• RQ5 直流潮流方程的可解集是否凸？在何种条件下凸？

主要发现

• 若对某个 $ x_0 $ 和 $ A_+ \succ 0 $，有 $ \varepsilon_{\text{max}}(x_0, A_+) $ 为无穷大，则二次映射的像集是凸的，提供了一种新颖的充分条件。
• 在 $ \mathbb{C}^2 \to \mathbb{R}^4 $ 的例子中，由 $ -4 \leq y_4 \leq -3 $ 定义的紧致部分是凸的，而完整像集并非凸。
• 利用所提出的框架，证明了直流潮流方程可解集的凸性。
• 近似方法估计 $ z_{\text{max}} \approx 1 $，保守估计得 $ z \approx 0.61 $，表明约 61% 的最大凸子集被覆盖。
• 若 $ z_{\text{max}} $ 有限且满足零空间条件，则四元厄米矩阵的联合数值域是凸的。
• 在三母线系统中，图像在 $ y_3 = 1 $ 处形成平坦边缘，表明凸性部分边界处为非严格凸。