[论文解读] On the coordinate (in)dependence of the formal path integral

Theo Johnson-Freyd|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了在弯曲纤维丛上的量子场论中，形式路径积分与坐标选择无关，仅依赖于所选的纤维体积形式。通过费曼图方法和坐标不变的正则化方案，证明了即使在非线性场论中度量依赖性原本模糊的情况下，体积保持的坐标变换也不会改变路径积分的值。

ABSTRACT

When path integrals are discussed in quantum field theory, it is almost always assumed that the fields take values in a vector bundle. When the fields are instead valued in a possibly-curved fiber bundle, the independence of the formal path integral on the coordinates becomes much less obvious. In this short note, aimed primarily at mathematicians, we first briefly recall the notions of Lagrangian classical and quantum field theory and the standard coordinate-full definition of the "formal" or "Feynman-diagrammatic" path integral construction. We then outline a proof of the following claim: the formal path integral does not depend on the choice of coordinates, but only on a choice of fiberwise volume form. Our outline is an honest proof when the formal path integral is defined without ultraviolet divergences.

研究动机与目标

• 建立非线性（弯曲纤维丛）场论中形式路径积分的坐标无关性。
• 解决在非线性场论中规范化时度量依赖性的模糊性问题。
• 证明形式路径积分仅依赖于纤维体积形式，而不依赖于局部坐标。
• 为具有弯曲配置空间的无限维场论中的费曼图方法提供严格的数学基础。

提出的方法

• 采用费曼图方法对有限维中的振荡积分进行渐近展开。
• 利用带有形式参数 ℏ 的驻定相位近似，将路径积分定义为形式幂级数。
• 在临界点附近施加体积保持的坐标图，以确保度量不变性。
• 依赖于体积保持微分同胚下线性变量变换映射的迹为零的事实。
• 证明在 O(e²) 阶以下的图贡献在这些变换下保持不变。
• 利用迹条件 tr{T_fiber Q}(v ↦ e^{(1)}(q)·v) = 0，证明图求和中非不变项的抵消。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性场论中，形式路径积分是否依赖于纤维丛上的局部坐标选择？
• RQ2 路径积分能否独立于坐标定义？若能，需要何种结构？
• RQ3 体积保持的坐标变换如何影响路径积分的费曼图展开？
• RQ4 纤维体积形式在确保坐标无关性方面起什么作用？
• RQ5 紫外发散是否是形式路径积分中坐标无关性的唯一障碍？

主要发现

• 形式路径积分在纤维丛上的体积保持坐标变换下保持不变。
• 路径积分仅依赖于纤维体积形式的选择，而不依赖于局部坐标。
• 迹条件 tr{T_fiber Q}(v ↦ e^{(1)}(q)·v) = 0 确保了图展开中非不变项的抵消。
• 在两个体积保持的坐标系中，O(e²) 阶的图贡献完全相同，证明了该阶的不变性。
• 只要形式路径积分有定义并满足标准费曼图恒等式，该结果即成立。
• 该构造即使在标准度量选择模糊的非线性场论中也有效。