[论文解读] On the correction to Einstein's formula for the effective viscosity

David Gérard‐Varet, Amina Mecherbet|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文建立了爱因斯坦关于稀释悬浮液中球形颗粒有效粘度公式的无条件 $ o(\lambda^2) $ 修正。通过在平均场极限下证明二阶粘度修正 $ \mu_2(x)\lambda^2 $ 的存在性，将先前的条件性结果推广至一般粒子构型，包括周期性和随机平稳排列，并通过均匀化方法与校正理论显式计算出 $ \mu_2 $。

ABSTRACT

This paper is a follow-up of article [6], on the derivation of accurate effective models for viscous dilute suspensions. The goal is to identify an effective Stokes equation providing a $o(\\lambda^2)$ approximation of the exact fluid-particle system, with $\\lambda$ the solid volume fraction of the particles. This means that we look for an improvement of Einstein's formula for the effective viscosity in the form $\\mu_{eff}(x) = \\mu + \\frac{5}{2} \\mu \ ho(x) \\lambda + \\mu_2(x) \\lambda^2$. Under a separation assumption on the particles, we proved in [6] that if a $o(\\lambda)^2$ Stokes effective approximation exists, the correction $\\mu_2$ is necessarily given by a mean field limit, that can then be studied and computed under further assumptions on the particle configurations. Roughly, we go here from the conditional result of [6] to an unconditional result: we show that such a $o(\\lambda^2)$ Stokes approximation indeed exists, as soon as the mean field limit exists. This includes the case of periodic and random stationary particle configurations.

研究动机与目标

• 推导出对稀释粘性悬浮液中球形颗粒的具有 $ o(\lambda^2) $ 精度的有效斯托克斯方程。
• 识别爱因斯坦公式 $ \mu_{\text{eff}} = \mu + \frac{5}{2}\mu\lambda + \mu_2\lambda^2 $ 之外的二阶修正 $ \mu_2(x)\lambda^2 $，超越经典的 $ o(\lambda) $ 近似。
• 在正确子方程的平均场极限存在的前提下，无条件地证明此类 $ o(\lambda^2) $ 近似存在。
• 在粒子构型满足弱假设（包括周期性和随机平稳排列）的条件下，显式计算 $ \mu_2(x) $。
• 通过将校正与平均场极限的收敛性联系起来，将先前的条件性结果推广为无条件存在性。

提出的方法

• 将流体-粒子系统表述为在粒子表面满足无滑移和无转矩边界条件的斯托克斯问题。
• 利用均匀化技术推导出具有空间变有效粘度 $ \mu_{\text{eff}}(x) = \mu + \mu_1\lambda + \mu_2\lambda^2 $ 的有效斯托克斯方程。
• 依赖于正确子方程的平均场极限来定义 $ \mu_2(x) $，在粒子间距和密度收敛的假设下确保其收敛性。
• 应用尺度变换与周期逼近技术，分析大区域中正确子的极限。
• 使用分部积分法与格林函数 $ G_{S,1} $ 的周期分解处理奇点与边界效应。
• 证明涉及径向函数 $ r $ 的两点相关积分收敛，从而确认 $ \mu_2 $ 由粒子分布的平均场极限决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于稀释悬浮液，是否存在一个与粒子构型无关的 $ o(\lambda^2) $ 有效粘度近似，超越爱因斯坦的 $ o(\lambda) $ 公式？
• RQ2 能否从正确子方程的平均场极限中显式计算出二阶修正 $ \mu_2(x) $？
• RQ3 在平均场极限存在的假设下，$ o(\lambda^2) $ 近似是否存在是无条件的？
• RQ4 在非周期性、随机构型下，$ \mu_2(x) $ 的结构如何依赖于粒子几何与空间分布？
• RQ5 径向相关函数 $ r $ 在决定有效粘度的二阶修正中起什么作用？

主要发现

• 若正确子的平均场极限存在，则无条件地存在 $ o(\lambda^2) $ 有效斯托克斯近似。
• 二阶修正 $ \mu_2(x) $ 由一个可显式计算的平均场极限给出，前提是粒子构型满足弱假设。
• 对于周期性与随机平稳粒子排列（包括硬核泊松过程），平均场极限存在，并给出明确定义的 $ \mu_2(x) $。
• 修正 $ \mu_2(x) $ 为非标量，其依赖于粒子分布的无迹对称张量结构。
• 涉及 $ r $ 与格林函数的两点相关积分的极限收敛于 $ \frac{m^2}{5}|S|^2 $，从而确认了 $ \mu_2 $ 的结构。
• 该结果将爱因斯坦公式推广至二阶，为稀释悬浮液中更高阶有效粘度模型提供了严格基础。